Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов

Предмет: Высшая математика

Раздел: Линейная алгебра (теория матриц и определителей)

Дано:

матрица \( A \) размером \( 4 \times 4 \)

\[ A = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 & 4 \\ 2 & -3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} \]

Нужно:

1. Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов \( a_{i2} \) и \( a_{3j} \).
2. Вычислить определитель матрицы:
   • по элементам \( j \)-го столбца;
   • по элементам \( i \)-й строки;
   • предварительно получив нули в \( i \)-й строке.

---

1. Миноры и алгебраические дополнения для \( a_{i2} \) и \( a_{3j} \)

а) Элемент \( a_{42} = 0 \)

Минор элемента \( a_{42} \) — это определитель матрицы, полученной из исходной \( A \) путем удаления 4-й строки и 2-го столбца:

\[ M_{42} = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем этот определитель методом разложения по 1-му столбцу:

\[ M_{42} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \]

\[ M_{42} = (-1) \cdot (1 \cdot 4 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot (0 \cdot 4 - 2 \cdot 4) + 3 \cdot (0 \cdot 4 - 1 \cdot 4) \]

\[ M_{42} = (-1) \cdot (4 - 2) - 2 \cdot (0 - 8) + 3 \cdot (0 - 4) \]

\[ M_{42} = (-1) \cdot 2 + (-16) + (-12) = -2 - 16 - 12 = -30 \]

Алгебраическое дополнение элемента \( a_{42} \):

\[ A_{42} = (-1)^{4+2} \cdot M_{42} = (-1)^{6} \cdot (-30) = 1 \cdot (-30) = -30 \]

б) Элемент \( a_{34} = 4 \)

Минор элемента \( a_{34} \):

\[ M_{34} = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем его примерно тем же методом разложения по 1-му столбцу:

\[ M_{34} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \]

\[ M_{34} = (-1) \cdot ((-3) \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 2 \cdot (2 \cdot 1 - 2 \cdot 1) \]

\[ M_{34} = (-1) \cdot (-3) - 2 \cdot (2 - 2) = 3 \]

Алгебраическое дополнение элемента \( a_{34} \):

\[ A_{34} = (-1)^{3+4} \cdot M_{34} = (-1)^7 \cdot 3 = -3 \]

---

2. Определитель матрицы \( A \)

а) Вычисление определителя по элементам \( j = 4 \)-го столбца

Разложим определитель по элементам 4-го столбца:

\[ \det(A) = a_{14} \cdot A_{14} + a_{24} \cdot A_{24} + a_{34} \cdot A_{34} + a_{44} \cdot A_{44} \]

1. Элемент \( a_{14} = 4 \), его алгебраическое дополнение \( A_{14} \):

   Минор для \( a_{14} \):

   \[ M_{14} = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\ -3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} \]

   Рассчитаем его методом разложения по 1-му столбцу:

   \[ M_{14} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (1 \cdot 3 - 1 \cdot 1) = 2 \cdot (3 - 1) = 2 \cdot 2 = 4 \]

   Алгебраическое дополнение:

   \[ A_{14} = (-1)^{1+4} \cdot M_{14} = (-1)^5 \cdot 4 = -4 \]

2. Элемент \( a_{24} = 1 \), его алгебраическое дополнение \( A_{24} \):

   Минор для \( a_{24} \):

   \[ M_{24} = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} \]

   Рассчитаем его так же:

   \[ M_{24} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (1 \cdot 3 - 3 \cdot 1) = (-1) \cdot (3 - 3) = 0 \]

   Алгебраическое дополнение:

   \[ A_{24} = (-1)^{2+4} \cdot M_{24} = (-1)^6 \cdot 0 = 0 \]

3. Элемент \( a_{34} = 4 \), его алгебраическое дополнение \( A_{34} = -3 \) (вычислено ранее).
4. Элемент \( a_{44} = 3 \), его алгебраическое дополнение \( A_{44} \):

   \[ M_{44} = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]

   Рассчитаем его:

   \[ M_{44} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \]

   \[ M_{44} = (-1) \cdot (-3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \]

   \[ M_{44} = (-1) \cdot (-6 - (-1)) - 2 \cdot (4 - 3) = (-1) \cdot (-5) - 2 \cdot 1 = 5 - 2 = 3 \]

   Алгебраическое дополнение:

   \[ A_{44} = (-1)^{4+4} \cdot M_{44} = (-1)^8 \cdot 3 = 3 \]

Теперь можем найти определитель:

\[ \det(A) = 4 \cdot (-4) + 1 \cdot 0 + 4 \cdot (-3) + 3 \cdot 3 \]

\[ \det(A) = -16 + 0 - 12 + 9 = -19 \]

---

Ответ:

\(\det(A) = -19\).

Минор для \( a_{44} \):