Найти матрицу Грама G = (gij) системы векторов f1, f2 и длину вектора f2. e1, e2 - ортономированный базис

Условие:

Найти матрицу Грама G = (gij) системы векторов f1, f2 и длину вектора f2. e1, e2 - ортономированный базис. В ответе указать: 1) элементы матрицы G; 2) длину |f2|. В случае получения дробного ответа представить его в виде десятичной дроби. Целая часть отделяется от дробной запятой.

Решение:

Это задание относится к предмету линейная алгебра, раздел "Ортогональные системы и матрицы Грама". 1. **Определение матрицы Грама \( G \) системы векторов \( f_1 \) и \( f_2 \)**: Матрица Грама \( G \) для системы векторов \( f_1 \) и \( f_2 \) является матрицей, в которой элементы \( g_{ij} \) представляют собой скалярные произведения векторов \( f_i \) и \( f_j \). Сначала вычислим скалярные произведения векторов: \( f_1 \) и \( f_2 \) заданы как: \[ f_1 = 12e_1 - 5e_2 \] \[ f_2 = 12e_1 + 5e_2 \] Рассчитаем все необходимые скалярные произведения: \[ g_{11} = f_1 \cdot f_1 \] \[ g_{12} = f_1 \cdot f_2 \] \[ g_{21} = f_2 \cdot f_1 = g_{12} \] \[ g_{22} = f_2 \cdot f_2 \] Чтобы вычислить эти скалярные произведения, будем использовать свойства скалярного произведения, а также ортонормированность базиса \( e_1 \) и \( e_2 \) (где \( e_1 \cdot e_1 = 1 \), \( e_2 \cdot e_2 = 1 \) и \( e_1 \cdot e_2 = 0 \)). Вычислим \( g_{11} \): \[ g_{11} = (12e_1 - 5e_2) \cdot (12e_1 - 5e_2) \] \[ g_{11} = 12^2(e_1 \cdot e_1) - 2 \cdot 12 \cdot 5(e_1 \cdot e_2) + 5^2(e_2 \cdot e_2) \] \[ g_{11} = 144 \cdot 1 - 0 + 25 \cdot 1 \] \[ g_{11} = 144 + 25 \] \[ g_{11} = 169 \] Вычислим \( g_{12} \): \[ g_{12} = (12e_1 - 5e_2) \cdot (12e_1 + 5e_2) \] \[ g_{12} = 12^2(e_1 \cdot e_1) + 12 \cdot 5(e_1 \cdot e_2) - 5 \cdot 12(e_2 \cdot e_1) - 5^2(e_2 \cdot e_2) \] \[ g_{12} = 144 \cdot 1 + 0 - 0 - 25 \cdot 1 \] \[ g_{12} = 144 - 25 \] \[ g_{12} = 119 \] Вычислим \( g_{22} \): \[ g_{22} = (12e_1 + 5e_2) \cdot (12e_1 + 5e_2) \] \[ g_{22} = 12^2(e_1 \cdot e_1) + 2 \cdot 12 \cdot 5(e_1 \cdot e_2) + 5^2(e_2 \cdot e_2) \] \[ g_{22} = 144 \cdot 1 + 0 + 25 \cdot 1 \] \[ g_{22} = 144 + 25 \] \[ g_{22} = 169 \] Таким образом, матрица Грама \( G \) будет: \[ G = \begin{pmatrix} 169 & 119 \\ 119 & 169 \end{pmatrix} \] 2. **Длина вектора \( f_2 \)**: Для вычисления длины вектора \( f_2 \) необходимо найти величину его нормы: \[ |f_2| = \sqrt{f_2 \cdot f_2} \] Мы уже вычислили \( f_2 \cdot f_2 = 169 \), поэтому: \[ |f_2| = \sqrt{169} \] \[ |f_2| = 13 \] **Ответы:** 1. Элементы матрицы Грама \( G \): \[ (g_{11}, g_{12}, g_{21}, g_{22}) = (169, 119, 119, 169) \] 2. Длина вектора \( f_2 \): \[ |f_2| = 13 \]