Найти матрицу A = (aij) квадратичной формы, получаемый путем линейной замены переменных x1=2y1 - 2y2; x2=-y1 - y2

Условие:

Найти матрицу A = (aij) квадратичной формы, получаемый путем линейной замены переменных x1=2y1 - 2y2; x2=-y1 - y2 В ответе указать элементы матрицы А. В случае получения дробного ответа представить его в виде десятичной дроби. Целая часть отделяется от дробной запятой.

Решение:

Данное задание относится к предмету «Линейная алгебра». Разделом предмета является «Квадратичные формы и линейные замены переменных». Нам нужно найти матрицу \( A \) квадратичной формы \( q(x_1, x_2) \) после линейной замены переменных \( x_1 = 2y_1 - 2y_2 \) и \( x_2 = -y_1 - y_2 \). Начнем с квадратичной формы \( q(x_1, x_2) \): \[ q(x_1, x_2) = 2x_1^2 - 8x_1x_2 - x_2^2 \] Подставим выражения для \( x_1 \) и \( x_2 \) через \( y_1 \) и \( y_2 \): \[ x_1 = 2y_1 - 2y_2 \] \[ x_2 = -y_1 - y_2 \] Теперь выразим \( q(y_1, y_2) \) через \( y_1 \) и \( y_2 \): 1. Найдем \( x_1^2 \): \[ x_1^2 = (2y_1 - 2y_2)^2 = 4y_1^2 - 8y_1y_2 + 4y_2^2 \] 2. Найдем \( x_2^2 \): \[ x_2^2 = (-y_1 - y_2)^2 = y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2 \] 3. Найдем \( x_1x_2 \): \[ x_1x_2 = (2y_1 - 2y_2)(-y_1 - y_2) = -2y_1^2 - 2y_1y_2 + 2y_2y_1 + 2y_2^2 = -2y_1^2 - 4y_1y_2 - 2y_2^2 \] Теперь подставим все это в квадратичную форму \( q(x_1, x_2) \): \[ q(y_1, y_2) = 2(4y_1^2 - 8y_1y_2 + 4y_2^2) - 8(-2y_1^2 - 2y_1y_2 - 2y_2^2) - (y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2) \] Раскроем скобки и упрощаем: \[ q(y_1, y_2) = 8y_1^2 - 16y_1y_2 + 8y_2^2 + 16y_1^2 + 16y_1y_2 + 16y_2^2 - y_1^2 - 2y_1y_2 - y_2^2 \] Соберем все аналогичные члены: \[ q(y_1, y_2) = (8y_1^2 + 16y_1^2 - y_1^2) + (-16y_1y_2 + 16y_1y_2 + 2y_1y_2) + (8y_2^2 + 16y_2^2 - y_2^2) \] \[ q(y_1, y_2) = 23y_1^2 + 0 \cdot y_1y_2 + 23y_2^2 \] Таким образом, можем записать матрицу \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 23 & 0 \\ 0 & 23 \\ \end{pmatrix} \] Ответ: Элементы матрицы \( A \) являются: \[ a_{11} = 23 \] \[ a_{12} = 0 \] \[ a_{21} = 0 \] \[ a_{22} = 23 \]