Найти матрицу A = (aij) квадратичной формы, получаемый путем линейной замены переменных x1=2y1 - 2y2; x2=-y1 - y2

Главная
Высшая математика
Линейная и векторная алгебра
Найти матрицу A = (aij) квадратичной формы, получаемый путем линейной замены переменных x1=2y1 - 2y2; x2=-y1 - y2

Условие:

Найти матрицу A = (aij) квадратичной формы, получаемый путем линейной замены переменных x1=2y1 - 2y2; x2=-y1 - y2 В ответе указать элементы матрицы А. В случае получения дробного ответа представить его в виде десятичной дроби. Целая часть отделяется от дробной запятой.

Условие: Найти матрицу A = (aij) квадратичной формы, получаемый путем линейной замены переменных x1=2y1 - 2y2; x2=-y1 - y2 В ответе указать элементы матрицы А. В случае получения дробного ответа представить его в виде десятичной дроби. Целая часть отделяется от дробной запятой.

Решение:

Данное задание относится к предмету «Линейная алгебра».

Разделом предмета является «Квадратичные формы и линейные замены переменных». Нам нужно найти матрицу $$A $$ квадратичной формы $$q (x_{1}, x_{2}) $$ после линейной замены переменных $$x_{1} = 2 y_{1} - 2 y_{2} $$ и $$x_{2} = - y_{1} - y_{2} $$ .

Начнем с квадратичной формы $$q (x_{1}, x_{2}) $$ :

$\[q (x_{1}, x_{2}) = 2 x_{1}^{2} - 8 x_{1} x_{2} - x_{2}^{2} \]$

Подставим выражения для $$x_{1} $$ и $$x_{2} $$ через $$y_{1} $$ и $$y_{2} $$ :

$\[x_{1} = 2 y_{1} - 2 y_{2} \]$

$\[x_{2} = - y_{1} - y_{2} \]$

Теперь выразим $$q (y_{1}, y_{2}) $$ через $$y_{1} $$ и $$y_{2} $$ :

1. Найдем $$x_{1}^{2} $$ :

$\[x_{1}^{2} = (2 y_{1} - 2 y_{2})^{2} = 4 y_{1}^{2} - 8 y_{1} y_{2} + 4 y_{2}^{2} \]$

2. Найдем $$x_{2}^{2} $$ :

$\[x_{2}^{2} = (- y_{1} - y_{2})^{2} = y_{1}^{2} + 2 y_{1} y_{2} + y_{2}^{2} \]$

3. Найдем $$x_{1} x_{2} $$ :

$\[x_{1} x_{2} = (2 y_{1} - 2 y_{2}) (- y_{1} - y_{2}) = - 2 y_{1}^{2} - 2 y_{1} y_{2} + 2 y_{2} y_{1} + 2 y_{2}^{2} = - 2 y_{1}^{2} - 4 y_{1} y_{2} - 2 y_{2}^{2} \]$

Теперь подставим все это в квадратичную форму $$q (x_{1}, x_{2}) $$ :

$\[q (y_{1}, y_{2}) = 2 (4 y_{1}^{2} - 8 y_{1} y_{2} + 4 y_{2}^{2}) - 8 (- 2 y_{1}^{2} - 2 y_{1} y_{2} - 2 y_{2}^{2}) - (y_{1}^{2} + 2 y_{1} y_{2} + y_{2}^{2}) \]$

Раскроем скобки и упрощаем:

$\[q (y_{1}, y_{2}) = 8 y_{1}^{2} - 16 y_{1} y_{2} + 8 y_{2}^{2} + 16 y_{1}^{2} + 16 y_{1} y_{2} + 16 y_{2}^{2} - y_{1}^{2} - 2 y_{1} y_{2} - y_{2}^{2} \]$

Соберем все аналогичные члены:

$\[q (y_{1}, y_{2}) = (8 y_{1}^{2} + 16 y_{1}^{2} - y_{1}^{2}) + (- 16 y_{1} y_{2} + 16 y_{1} y_{2} + 2 y_{1} y_{2}) + (8 y_{2}^{2} + 16 y_{2}^{2} - y_{2}^{2}) \]$

$\[q (y_{1}, y_{2}) = 23 y_{1}^{2} + 0 \cdot y_{1} y_{2} + 23 y_{2}^{2} \]$

Таким образом, можем записать матрицу $$A $$ :

$\[A = (\begin{matrix} 23 & 0 \\ 0 & 23 \end{matrix}) \]$

Ответ: Элементы матрицы $$A $$ являются:

$\[a_{11} = 23 \]$

$\[a_{12} = 0 \]$

$\[a_{21} = 0 \]$

$\[a_{22} = 23 \]$

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!

Найти матрицу A = (aij) квадратичной формы, получаемый путем линейной замены переменных x1=2y1 - 2y2; x2=-y1 - y2

Условие:

Решение:

Данное задание относится к предмету «Линейная алгебра».

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Виды работ: