Найти матрицу A = (aij) квадратичной формы, получаемый путем линейной замены переменных x1=2y1 - 2y2; x2=-y1 - y2

Условие:

Найти матрицу A = (aij) квадратичной формы, получаемый путем линейной замены переменных x1=2y1 - 2y2; x2=-y1 - y2 В ответе указать элементы матрицы А. В случае получения дробного ответа представить его в виде десятичной дроби. Целая часть отделяется от дробной запятой.

Условие: Найти матрицу A = (aij) квадратичной формы, получаемый путем линейной замены переменных x1=2y1 - 2y2; x2=-y1 - y2 В ответе указать элементы матрицы А. В случае получения дробного ответа представить его в виде десятичной дроби. Целая часть отделяется от дробной запятой.

Решение:

Данное задание относится к предмету «Линейная алгебра».

Разделом предмета является «Квадратичные формы и линейные замены переменных». Нам нужно найти матрицу \(A\) квадратичной формы \(q(x1,x2)\) после линейной замены переменных \(x1=2y12y2\) и \(x2=y1y2\).

Начнем с квадратичной формы \(q(x1,x2)\):

\[q(x1,x2)=2x128x1x2x22\]

Подставим выражения для \(x1\) и \(x2\) через \(y1\) и \(y2\):

\[x1=2y12y2\]

\[x2=y1y2\]

Теперь выразим \(q(y1,y2)\) через \(y1\) и \(y2\):

1. Найдем \(x12\):

\[x12=(2y12y2)2=4y128y1y2+4y22\]

2. Найдем \(x22\):

\[x22=(y1y2)2=y12+2y1y2+y22\]

3. Найдем \(x1x2\):

\[x1x2=(2y12y2)(y1y2)=2y122y1y2+2y2y1+2y22=2y124y1y22y22\]

Теперь подставим все это в квадратичную форму \(q(x1,x2)\):

\[q(y1,y2)=2(4y128y1y2+4y22)8(2y122y1y22y22)(y12+2y1y2+y22)\]

Раскроем скобки и упрощаем:

\[q(y1,y2)=8y1216y1y2+8y22+16y12+16y1y2+16y22y122y1y2y22\]

Соберем все аналогичные члены:

\[q(y1,y2)=(8y12+16y12y12)+(16y1y2+16y1y2+2y1y2)+(8y22+16y22y22)\]

\[q(y1,y2)=23y12+0y1y2+23y22\]

Таким образом, можем записать матрицу \(A\):

\[A=(230023)\]

Ответ: Элементы матрицы \(A\) являются:

\[a11=23\]

\[a12=0\]

\[a21=0\]

\[a22=23\]

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут