Найти матрицу A = (aij) квадратичной формы, получаемый путем линейной замены переменных x1=2y1 - 2y2; x2=-y1 - y2

Данное задание относится к предмету «Линейная алгебра».

Разделом предмета является «Квадратичные формы и линейные замены переменных». Нам нужно найти матрицу \( A \) квадратичной формы \( q(x_1, x_2) \) после линейной замены переменных \( x_1 = 2y_1 - 2y_2 \) и \( x_2 = -y_1 - y_2 \).

Начнем с квадратичной формы \( q(x_1, x_2) \):

\[ q(x_1, x_2) = 2x_1^2 - 8x_1x_2 - x_2^2 \]

Подставим выражения для \( x_1 \) и \( x_2 \) через \( y_1 \) и \( y_2 \):

\[ x_1 = 2y_1 - 2y_2 \]

\[ x_2 = -y_1 - y_2 \]

Теперь выразим \( q(y_1, y_2) \) через \( y_1 \) и \( y_2 \):

1. Найдем \( x_1^2 \):

\[ x_1^2 = (2y_1 - 2y_2)^2 = 4y_1^2 - 8y_1y_2 + 4y_2^2 \]

2. Найдем \( x_2^2 \):

\[ x_2^2 = (-y_1 - y_2)^2 = y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2 \]

3. Найдем \( x_1x_2 \):

\[ x_1x_2 = (2y_1 - 2y_2)(-y_1 - y_2) = -2y_1^2 - 2y_1y_2 + 2y_2y_1 + 2y_2^2 = -2y_1^2 - 4y_1y_2 - 2y_2^2 \]

Теперь подставим все это в квадратичную форму \( q(x_1, x_2) \):

\[ q(y_1, y_2) = 2(4y_1^2 - 8y_1y_2 + 4y_2^2) - 8(-2y_1^2 - 2y_1y_2 - 2y_2^2) - (y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2) \]

Раскроем скобки и упрощаем:

\[ q(y_1, y_2) = 8y_1^2 - 16y_1y_2 + 8y_2^2 + 16y_1^2 + 16y_1y_2 + 16y_2^2 - y_1^2 - 2y_1y_2 - y_2^2 \]

Соберем все аналогичные члены:

\[ q(y_1, y_2) = (8y_1^2 + 16y_1^2 - y_1^2) + (-16y_1y_2 + 16y_1y_2 + 2y_1y_2) + (8y_2^2 + 16y_2^2 - y_2^2) \]

\[ q(y_1, y_2) = 23y_1^2 + 0 \cdot y_1y_2 + 23y_2^2 \]

Таким образом, можем записать матрицу \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 23 & 0 \\ 0 & 23 \\ \end{pmatrix} \]

Ответ: Элементы матрицы \( A \) являются:

\[ a_{11} = 23 \]

\[ a_{12} = 0 \]

\[ a_{21} = 0 \]

\[ a_{22} = 23 \]