Найти матрицу оператора в другом базисе

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Линейные операторы, преобразование матриц в разных базисах.

Задача:

Дана матрица линейного оператора в одном базисе, и требуется найти матрицу этого оператора в другом базисе. Мы явным образом через координатные преобразования выполним перевод матрицы с одного базиса на другой.

Шаг 1. Исходные данные:

1. Базис \(B_1 = ((8, -6, 7), (-16, 7, -13), (9, -3, 7))\).
2. Матрица линейного оператора \( A \) в базисе \(B_1\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -18 & 15 \\ -1 & -22 & 20 \\ 1 & -25 & 22 \end{pmatrix} \]
3. Новый базис \( B_2 = ((1, -2, 1), (3, -1, 2), (2, 1, 2)) \).

Шаг 2. Переход от одного базиса к другому.

Для того чтобы найти матрицу оператора в новом базисе, нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать матрицу перехода от нового базиса \(B_2\) к старому базису \(B_1\). Это матрица, столбцы которой — координаты векторов нового базиса \(B_2\) в старом базисе \(B_1\). То есть, найдём представления векторов \( (1, -2, 1) \), \( (3, -1, 2) \), \( (2, 1, 2) \) через базис \(B_1 = \{(8, -6, 7), (-16, 7, -13), (9, -3, 7)\}\). Для этого нам нужно решить систему линейных уравнений для каждого из этих векторов в терминах базиса \(B_1\).
2. Обратная матрица перехода. После получения матрицы перехода к базису \(B_1\), нужно найти её обратную, чтобы выполнить перевод базиса обратным образом (от базиса \(B_1\) к \(B_2\)).
3. Пересчёт матрицы оператора в новом базисе. Новая матрица линейного оператора \(A'\) в базисе \(B_2\) будет вычисляться по следующей формуле: \[ A' = P^{-1} A P \] где \(P\) — это матрица перехода от нового базиса к старому, а \(P^{-1}\) — обратная матрица.

Шаг 3. Составление системы уравнений и её решение.

Для нахождения координат векторов нового базиса в старом базисе, решим систему линейных уравнений для каждого вектора относительно базисных векторов старого базиса.

Рассмотрим вектор \( (1, -2, 1) \). Пусть его координаты в базисе \( \{(8, -6, 7), (-16, 7, -13), (9, -3, 7)\} \) равны \( (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \). Тогда имеем:

• \[ 1 = \alpha_1 \cdot 8 + \alpha_2 \cdot (-16) + \alpha_3 \cdot 9 \]
• \[ -2 = \alpha_1 \cdot (-6) + \alpha_2 \cdot 7 + \alpha_3 \cdot (-3) \]
• \[ 1 = \alpha_1 \cdot 7 + \alpha_2 \cdot (-13) + \alpha_3 \cdot 7 \]

Мы решим эту систему и получим координаты \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \). Аналогично проделаем для остальных векторов.

Шаг 4. Решение системы линейных уравнений.

Матрица переходит через базисные преобразования.