Найти матрицу линейного преобразования в новом базисе

Условие:

реши

Решение:

Задание принадлежит к предмету "Линейная алгебра", раздел "Линейные преобразования и базисы". Для решения задачи нужно найти матрицу линейного преобразования в новом базисе. Дана матрица \( A \) в старом базисе \( (e_1, e_2) \), нужно найти её в новом базисе \( (e'_1, e'_2) \), где \[ e'_1 = e_1 - e_2 \] \[ e'_2 = -2e_1 + 3e_2 \]. Решение задачи включает следующие шаги: 1. Определение матрицы перехода \( P \) от старого базиса к новому и её обратной \( P^{-1} \). 2. Вычисление новой матрицы преобразования \( A' \) с помощью матрицы перехода. ### 1. Определение матрицы перехода \( P \) Матричные столбцы \( P \) - это координаты векторов нового базиса в старом базисе: \[ P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \] ### 2. Вычисление обратной матрицы \( P^{-1} \) \[ P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \] Вычислим детерминант матрицы \( P \): \[ \det(P) = (1 \cdot 3) - (-1 \cdot (-2)) = 3 - 2 = 1 \] Обратная матрица \( P^{-1} \) находится путем деления алгебраических дополнений матрицы \( P \) на её детерминант. Однако, для удобства можно использовать стандартную формулу для обратной матрицы 2x2: \[ P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] ### 3. Вычисление новой матрицы преобразования \( A' \) Используем формулу \( A' = P^{-1} A P \): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \] Вычислим умножение матриц: \[ P^{-1} A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 & 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) \\ 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 6 & 3 - 4 \\ 2 + 3 & 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -1 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} \] Теперь умножим результат на \( P \): \[ A' = (P^{-1} A) P = \begin{pmatrix} 12 & -1 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) & 12 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 \\ 5 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) & 5 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 + 1 & -24 - 3 \\ 5 + 1 & -10 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -27 \\ 6 & -13 \end{pmatrix} \] Ответом является вариант: \[ \begin{pmatrix} \frac{13}{6} & \frac{-27}{13} \\ \frac{6}{-13} & \frac{-13}{27} \end{pmatrix} \]