Найти матрицу линейного преобразования

Определение предмета и раздела

Данный вопрос относится к предмету "Линейная алгебра", раздел "Линейные преобразования и матрицы линейных преобразований".

Постановка задачи

Вам нужно найти матрицу линейного преобразования φ, чтобы φ(a₁) = b₁, φ(a₂) = b₂ и φ(a₃) = b₃, где a₁, a₂, a₃ и b₁, b₂, b₃ - это заданные векторы.

Действия и их подробное объяснение

1. Записываем векторы:
   • a₁ = (2,0,3)
   • a₂ = (4,1,5)
   • a₃ = (3,1,2)
   • b₁ = (1,2,-1)
   • b₂ = (4,5,-2)
   • b₃ = (1,1,1)
2. Предположение: Матрица линейного преобразования A переводит векторы a_i в b_i, то есть: \( A \cdot a_i = b_i \)
3. Составляем систему уравнений: Матрица A состоит из трёх столбцов (каждый по 3 элемента). Пусть: \[ A = \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \] Тогда: \[ A \cdot a₁ = b₁ \Rightarrow \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \] \[ A \cdot a₂ = b₂ \Rightarrow \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \] \[ A \cdot a₃ = b₃ \Rightarrow \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]
4. Решаем системы уравнений: Первая система: \[ 2a + 3g = 1 \\ 2b + 3h = 2 \\ 2c + 3i = -1 \] Вторая система: \[ 4a + d + 5g = 4 \\ 4b + e + 5h = 5 \\ 4c + f + 5i = -2 \] Третья система: \[ 3a + d + 2g = 1 \\ 3b + e + 2h = 1 \\ 3c + f + 2i = 1 \]
5. Записываем эту систему уравнений в матричной форме: Соединим систему уравнений в виде разложенного коэффициентного марицы.
6. Решаем эту систему с помощью метода Гаусса или любого другого подходящего метода: В результате получится: \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Результат:

Матрица линейного преобразования, которую мы искали: \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]