Найти матрицу линейного преобразования

Условие:

Реши задание

Решение:

### Определение предмета и раздела Данный вопрос относится к предмету "Линейная алгебра", раздел "Линейные преобразования и матрицы линейных преобразований". ### Постановка задачи Вам нужно найти матрицу линейного преобразования φ, чтобы φ(a₁) = b₁, φ(a₂) = b₂ и φ(a₃) = b₃, где a₁, a₂, a₃ и b₁, b₂, b₃ - это заданные векторы. ### Действия и их подробное объяснение 1. **Записываем векторы:** - a₁ = (2,0,3) - a₂ = (4,1,5) - a₃ = (3,1,2) - b₁ = (1,2,-1) - b₂ = (4,5,-2) - b₃ = (1,1,1) 2. **Предположение:** Матрица линейного преобразования A переводит векторы a_i в b_i, то есть: \( A \cdot a_i = b_i \) 3. **Составляем систему уравнений:** Матрица A состоит из трёх столбцов (каждый по 3 элемента). Пусть: \[ A = \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \] Тогда: \[ A \cdot a₁ = b₁ \Rightarrow \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \] \[ A \cdot a₂ = b₂ \Rightarrow \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \] \[ A \cdot a₃ = b₃ \Rightarrow \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] 4. **Решаем системы уравнений:** Первая система: \[ 2a + 3g = 1 \\ 2b + 3h = 2 \\ 2c + 3i = -1 \] Вторая система: \[ 4a + d + 5g = 4 \\ 4b + e + 5h = 5 \\ 4c + f + 5i = -2 \] Третья система: \[ 3a + d + 2g = 1 \\ 3b + e + 2h = 1 \\ 3c + f + 2i = 1 \] 5. **Записываем эту систему уравнений в матричной форме:** Соединим систему уравнений в виде разложенного коэффициентного марицы. 6. **Решаем эту систему с помощью метода Гаусса или любого другого подходящего метода:** В результате получится: \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] ### Результат: Матрица линейного преобразования, которую мы искали: \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]