Найти матрицу линейного отображения (оператора) ( A ), которое осуществляет ортогональную проекцию вектора

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Линейные отображения, матрицы, подпространства, производные отображений, проектирование на плоскость

Рассмотрим задание под номером 4:

4. ( A : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 ) — проектирование на плоскость ( 2x + y + z = 0 ).

Постановка задачи

Найти матрицу линейного отображения (оператора) ( A ), которое осуществляет ортогональную проекцию вектора из ( \mathbb{R}^3 ) на плоскость ( 2x + y + z = 0 ).

Шаг 1: Определим нормальный вектор плоскости

Уравнение плоскости: 2x + y + z = 0

Нормальный вектор к плоскости: \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}

Шаг 2: Формула ортогональной проекции на плоскость

Пусть ( \vec{v} \in \mathbb{R}^3 ) — произвольный вектор. Тогда его ортогональная проекция на плоскость с нормальным вектором ( \vec{n} ) задаётся формулой:

 \text{proj}_{\text{plane}}(\vec{v}) = \vec{v} - \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \vec{n} 

Шаг 3: Вычислим скалярное произведение

 \vec{n} \cdot \vec{n} = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6 

Шаг 4: Построим матрицу проекции

Пусть ( \vec{v} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} ). Тогда:

 \vec{v} \cdot \vec{n} = 2x + y + z 

 \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{6} = \frac{2x + y + z}{6} 

 \text{proj}_{\text{plane}}(\vec{v}) = \vec{v} - \frac{2x + y + z}{6} \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} 

Теперь выразим результат как линейное преобразование, т.е. найдём матрицу ( A ), такую что:

 A \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} - \frac{2x + y + z}{6} \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} 

Шаг 5: Вычислим выражение по координатам

Пусть:  \alpha = \frac{2x + y + z}{6} 

Тогда:

 A \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} - \alpha \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - \frac{2(2x + y + z)}{6} \ y - \frac{(2x + y + z)}{6} \ z - \frac{(2x + y + z)}{6} \end{pmatrix} 

Шаг 6: Представим в виде матрицы

Распишем это отображение как матрицу. Мы хотим найти такую матрицу ( A ), чтобы:

 A = I - \frac{1}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \vec{n} \vec{n}^T = I - \frac{1}{6} \vec{n} \vec{n}^T 

Где:

 \vec{n} \vec{n}^T = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \ 2 & 1 & 1 \ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} 

Тогда:

 A = I - \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \ 2 & 1 & 1 \ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{4}{6} & \frac{2}{6} & \frac{2}{6} \ \frac{2}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \ \frac{2}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{6} & -\frac{2}{6} & -\frac{2}{6} \ -\frac{2}{6} & \frac{5}{6} & -\frac{1}{6} \ -\frac{2}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{5}{6} \end{pmatrix} 

Или в более простом виде:

 A = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \ -\frac{1}{3} & \frac{5}{6} & -\frac{1}{6} \ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{5}{6} \end{pmatrix} 

Ответ:

Матрица ортогонального проектирования на плоскость 2x + y + z = 0:

 A = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \ -\frac{1}{3} & \frac{5}{6} & -\frac{1}{6} \ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{5}{6} \end{pmatrix}