Найти матрицу линейного оператора в базисе, используя данную матрицу в базисе и выражения элементов базиса через базис

Предмет: Линейная алгебра.

Раздел: Линейные операторы и преобразования базисов.

Задание:

Найти матрицу линейного оператора \( A_u \) в базисе \( u_1, u_2, u_3 \), используя данную матрицу \( A_e \) в базисе \( e_1, e_2, e_3 \) и выражения элементов базиса \( e \) через базис \( u \).

Шаг 1: Нахождение матрицы перехода

Для начала, нам нужно найти матрицу перехода \( P \) от базиса \( u \) к базису \( e \). Матрица перехода составляется из разложения векторов базиса \( e \) через базис \( u \):

\[ e_1 = u_1 + 2 u_2 - 2 u_3 \]

\[ e_2 = u_2 - u_3 \]

\[ e_3 = 2 u_1 + 2 u_2 - u_3 \]

Это означает, что каждая строка матрицы перехода \( P \) будет представлять собой коэффициенты при \( u_1, u_2, u_3 \) в разложениях векторов базиса \( e \):

\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Нахождение обратной матрицы перехода

Для того чтобы найти матрицу \( A_u \) оператора в базисе \( u \), нужно воспользоваться формулой:

\[ A_u = P^{-1} A_e P \]

Где:

• \( P \) — матрица перехода,
• \( P^{-1} \) — обратная матрица перехода,
• \( A_e \) — матрица линейного оператора в базисе \( e \).

Теперь вычисляем обратную матрицу \( P^{-1} \). Используем метод обратной матрицы или метод Гаусса. Для матрицы \( P \):

\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]

Найдём обратную матрицу \( P^{-1} \):

\[ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & -6 & 5 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Вычисление \( A_u \)

Теперь можем вычислить матрицу линейного оператора в базисе \( u \) по формуле \( A_u = P^{-1} A_e P \).

1. Найдим произведение \( A_e P \):

   \[ A_e P = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & -2 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]

   Это даёт:

   \[ A_e P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -5 & -6 & 4 \\ 5 & 8 & -7 \end{pmatrix} \]

2. Теперь умножим результат на \( P^{-1} \):

   \[ A_u = P^{-1} A_e P = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & -6 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -5 & -6 & 4 \\ 5 & 8 & -7 \end{pmatrix} \]

   Результат умножения:

Ответ:

Матрица оператора \( A_u \) в базисе \( u_1, u_2, u_3 \) — это:

\[ A_u = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]