Найти матрицу квадратичной формы

Задача относится к предмету "линейная алгебра" и разделу "квадратичные формы".

Задание: Найти матрицу квадратичной формы \(3x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 - 4x_1x_3\).

Для начала напомним, что квадратичная форма имеет общий вид: \[ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}, \] где \(\mathbf{x}\) — вектор переменных, а \(A\) — симметричная матрица коэффициентов.

Рассмотрим квадратичную форму: \[ Q(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 - 4x_1x_3. \]

Для составления матрицы \(A\), нужно определить коэффициенты квадратичной формы:

• Коэффициенты при \(x_1^2\), \(x_2^2\) и \(x_3^2\) есть элементы диагонали матрицы \(A\).
• Коэффициенты при смешанных членах (например, \(x_1x_3\)) равномерно распределяются между соответствующими элементами матрицы.

1. Коэффициент при \(x_1^2\) равен 3, значит \(a_{11} = 3\).
2. Коэффициент при \(x_2^2\) равен -1, значит \(a_{22} = -1\).
3. Коэффициент при \(x_3^2\) равен 2, значит \(a_{33} = 2\).

Теперь рассмотрим смешанные коэффициенты:

• Коэффициент при \(x_1x_3\) равен -4, значит \(a_{13} = a_{31} = -2\) (делим пополам, так как эти коэффициенты симметричные).

Таким образом, элементы матрицы \(A\) распределяются следующим образом: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]

Итак, матрица квадратичной формы \(3x_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 - 4x_1x_3\) имеет вид: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]