Найти матрицу

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы и операции над ними

Рассмотрим первую задачу:

Дана матрица:
[ A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \ 2 & 1 \end{pmatrix} ] Требуется найти матрицу
[ C = B \cdot B^T ] где
[ B = A^{-1} ]

Шаг 1: Найдем обратную матрицу ( A^{-1} )

Обратная матрица ( A^{-1} ) находится по формуле:
 A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \text{adj}(A)  где ( \det A ) — определитель матрицы ( A ), а ( \text{adj}(A) ) — присоединенная матрица.

Определитель матрицы ( A ) вычисляется следующим образом:
 \det A = (4 \cdot 1) - (3 \cdot 2) = 4 - 6 = -2 

Присоединенная матрица (матрица алгебраических дополнений, транспонированная) получается заменой элементов по формуле:
 \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -3 \ -2 & 4 \end{pmatrix} 

Теперь вычисляем обратную матрицу:
 A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 \ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \ 1 & -2 \end{pmatrix} 

Шаг 2: Найдем ( B^T ) (транспонированную матрицу ( B ))

Транспонируем ( B ):
 B^T = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1 \ \frac{3}{2} & -2 \end{pmatrix} 

Шаг 3: Вычислим ( C = B \cdot B^T )

Перемножим матрицы:
 C = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \ 1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1 \ \frac{3}{2} & -2 \end{pmatrix} 

Вычислим элементы матрицы ( C ):

• ( C_{11} = (-\frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{2}) + (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} )
• ( C_{12} = (-\frac{1}{2} \cdot 1) + (\frac{3}{2} \cdot -2) = -\frac{1}{2} - 3 = -\frac{7}{2} )
• ( C_{21} = (1 \cdot -\frac{1}{2}) + (-2 \cdot \frac{3}{2}) = -\frac{1}{2} - 3 = -\frac{7}{2} )
• ( C_{22} = (1 \cdot 1) + (-2 \cdot -2) = 1 + 4 = 5 )

Итак, матрица ( C ) равна:
 C = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} & -\frac{7}{2} \ -\frac{7}{2} & 5 \end{pmatrix} 

Ответ:

 C = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} & -\frac{7}{2} \ -\frac{7}{2} & 5 \end{pmatrix}