Найти квадратичную форму, соответствующую заданной матрице

Условие:

Решение:

Данный вопрос относится к курсу линейной алгебры или матричной алгебры и касается квадратичных форм. Необходимо найти квадратичную форму, соответствующую заданной матрице \( A \). Матрица \( A \) задана как: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix} \] Сначала напомним, что квадратичная форма \( Q(x) \) для вектора \( x = (x_1, x_2, x_3)^T \) с учетом матрицы \( A \) представляется как: \[ Q(x) = x^T A x \] Раскроем этот выражение подробно: \[ Q(x) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \] Рассчитаем произведение матриц частями: Сначала найдем \( A x \): \[ A x = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot x_1 - 1 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 \\ -1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3 \\ 0 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 - 3 \cdot x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ - x_1 + 2 x_2 + 3 x_3 \\ 3 x_2 - 3 x_3 \end{pmatrix} \] Теперь найдем \( x^T A x \): \[ Q(x) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ - x_1 + 2 x_2 + 3 x_3 \\ 3 x_2 - 3 x_3 \end{pmatrix} = x_1 (x_1 - x_2) + x_2 (-x_1 + 2 x_2 + 3 x_3) + x_3 (3 x_2 - 3 x_3) \] Раскроем скобки: \[ = x_1^2 - x_1 x_2 - x_1 x_2 + 2 x_2^2 + 3 x_2 x_3 + 3 x_2 x_3 - 3 x_3^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + 2 x_2^2 + 6 x_2 x_3 - 3 x_3^2 \] Теперь исследуем списанные квадратичные формы: 1. \( x_1^2 + 2x_2^2 - 3x_3^2 - 2x_1x_2 + 6x_2x_3 \) 2. \( x_1^2 + 2x_2^2 - 3x_3^2 - x_1x_3 + 3x_1x_2 \) 3. \( x_1^2 + 2x_2^2 - 3x_3^2 - x_1x_3 + 3x_2x_3 \) 4. \( x_1^2 + 2x_2^2 - 3x_3^2 - 2x_1x_3 + 6x_2x_3 \) Результат нашего расчета совпадает с первым вариантом: \[ x_1^2 + 2x_2^2 - 3x_3^2 - 2x_1x_2 + 6x_2x_3 \] Следовательно, правильный ответ: \[ \boxed{x_1^2 + 2x_2^2 - 3x_3^2 - 2x_1x_2 + 6x_2x_3} \]