Найти квадратичную форму, соответствующую матрице

Условие:

Решение:

Это задание относится к предмету линейная алгебра, а конкретнее к разделу квадратичных форм. Перед нами дана матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix} \] Нужно найти квадратичную форму, соответствующую этой матрице. Квадратичная форма для данной матрицы записывается как: \[ Q(x) = x^T A x \] где \( x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \), \( x^T \) - это транспонированный вектор \( x \). Рассчитаем \( x^T A x \): \[ x^T A x = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \cdot x_1 + (-1) \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 \\ -1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3 \\ 0 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 + (-3) \cdot x_3 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ - x_1 + 2 x_2 + 3 x_3 \\ 3 x_2 - 3 x_3 \end{pmatrix} \] Рассчитаем по компонентам: \[ x_1 (x_1 - x_2) + x_2 (- x_1 + 2 x_2 + 3 x_3) + x_3 (3 x_2 - 3 x_3) \] \[ = x_1^2 - x_1 x_2 - x_1 x_2 + 2 x_2^2 + 3 x_2 x_3 + 3 x_2 x_3 - 3 x_3^2 \] \[ = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + 2 x_2^2 + 6x_2 x_3 - 3 x_3^2 \] Таким образом, нужная нам квадратичная форма: \[ x_1^2 + 2 x_2^2 - 3 x_3^2 - 2 x_1 x_2 + 6 x_2 x_3 \] Следовательно, верный ответ - последняя квадратичная форма из предложенных: \[ x_1^2 + 2 x_2^2 - 3 x_3^2 - 2 x_1x_2 + 6x_2x_3 \]