Найти круги Гершгорина и указать центр второго круга и его радиус с точностью до двух знаков после запятой

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Собственные значения и собственные векторы матриц, круги Гершгорина.

Задание:

Найти круги Гершгорина и указать центр второго круга и его радиус \( r_2 \) с точностью до двух знаков после запятой.

Шаг 1: Определение кругов Гершгорина

Круги Гершгорина помогают оценить область нахождения собственных значений квадратной матрицы. Для квадратной матрицы \( C \) радиус и центр кругов Гершгорина задаются следующим образом:

• Для матрицы \( C \) с элементами \( c_{ij} \) радиус каждого круга равен сумме модулей всех элементов строки, кроме диагонального элемента: \[ r_i = \sum_{j \neq i} |c_{ij}| \]
• Центр круга — это соответствующий диагональный элемент: \[ Центр = c_{ii} \]

Теперь воспользуемся этими формулами для матрицы \( C \):

\[ C = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -8 & -4 & 1 \\ 5 & 7 & 6 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Вычисление кругов

Круг 1 (первая строка матрицы):

• Диагональный элемент: \( c_{11} = 4 \) — центр первого круга.
• Радиус: \[ r_1 = |c_{12}| + |c_{13}| = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2 \]

Итак, для первого круга:

Центр: \( 4 \), радиус: \( r_1 = 2 \).

Круг 2 (вторая строка матрицы):

• Диагональный элемент: \( c_{22} = -4 \) — центр второго круга.
• Радиус: \[ r_2 = |c_{21}| + |c_{23}| = |-8| + |1| = 8 + 1 = 9 \]

Итак, для второго круга:

Центр: \( -4 \), радиус: \( r_2 = 9 \).

Круг 3 (третья строка матрицы):

• Диагональный элемент: \( c_{33} = 6 \) — центр третьего круга.
• Радиус: \[ r_3 = |c_{31}| + |c_{32}| = |5| + |7| = 5 + 7 = 12 \]

Итак, для третьего круга:

Центр: \( 6 \), радиус: \( r_3 = 12 \).

Шаг 3: Ответ

Для второго круга:

• Центр: \( -4 \).
• Радиус: \( r_2 = 9.00 \).

Ответ:

\[ Центр второго круга = -4, радиус = 9.00 \]