Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Собственные значения и собственные векторы матриц, круги Гершгорина.
Задание:
Найти круги Гершгорина и указать центр второго круга и его радиус \( r_2 \) с точностью до двух знаков после запятой.
Шаг 1: Определение кругов Гершгорина
Круги Гершгорина помогают оценить область нахождения собственных значений квадратной матрицы. Для квадратной матрицы \( C \) радиус и центр кругов Гершгорина задаются следующим образом:
-
Для матрицы \( C \) с элементами \( c_{ij} \) радиус каждого круга равен сумме модулей всех элементов строки, кроме диагонального элемента:
\[ r_i = \sum_{j \neq i} |c_{ij}| \]
-
Центр круга — это соответствующий диагональный элемент:
\[ Центр = c_{ii} \]
Теперь воспользуемся этими формулами для матрицы \( C \):
\[ C = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -8 & -4 & 1 \\ 5 & 7 & 6 \end{pmatrix} \]
Шаг 2: Вычисление кругов
Круг 1 (первая строка матрицы):
- Диагональный элемент: \( c_{11} = 4 \) — центр первого круга.
- Радиус:
\[ r_1 = |c_{12}| + |c_{13}| = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2 \]
Итак, для первого круга:
Центр: \( 4 \), радиус: \( r_1 = 2 \).
Круг 2 (вторая строка матрицы):
- Диагональный элемент: \( c_{22} = -4 \) — центр второго круга.
- Радиус:
\[ r_2 = |c_{21}| + |c_{23}| = |-8| + |1| = 8 + 1 = 9 \]
Итак, для второго круга:
Центр: \( -4 \), радиус: \( r_2 = 9 \).
Круг 3 (третья строка матрицы):
- Диагональный элемент: \( c_{33} = 6 \) — центр третьего круга.
- Радиус:
\[ r_3 = |c_{31}| + |c_{32}| = |5| + |7| = 5 + 7 = 12 \]
Итак, для третьего круга:
Центр: \( 6 \), радиус: \( r_3 = 12 \).
Шаг 3: Ответ
Для второго круга:
- Центр: \( -4 \).
- Радиус: \( r_2 = 9.00 \).
Ответ: