Найти косинус угла между векторами

Этот вопрос относится к курсу аналитической геометрии или линейной алгебры.

Мы будем использовать скалярное произведение векторов для нахождения косинуса угла между ними. Итак, у нас есть два вектора:

\[ \mathbf{a} = (2, -1, -2) \] \[ \mathbf{b} = (3, -4, 0) \]

Шаг 1: Найдите скалярное произведение \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \]

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-4) + (-2) \cdot 0 \]

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 6 + 4 + 0 \]

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 10 \]

Шаг 2: Найдите длину вектора \(\mathbf{a}\):

\[ \| \mathbf{a} \| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \]

\[ \| \mathbf{a} \| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} \]

\[ \| \mathbf{a} \| = \sqrt{4 + 1 + 4} \]

\[ \| \mathbf{a} \| = \sqrt{9} \]

\[ \| \mathbf{a} \| = 3 \]

Шаг 3: Найдите длину вектора \(\mathbf{b}\):

\[ \| \mathbf{b} \| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} \]

\[ \| \mathbf{b} \| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} \]

\[ \| \mathbf{b} \| = \sqrt{9 + 16 + 0} \]

\[ \| \mathbf{b} \| = \sqrt{25} \]

\[ \| \mathbf{b} \| = 5 \]

Шаг 4: Найдите косинус угла между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\| \mathbf{a} \| \| \mathbf{b} \|} \]

\[ \cos \theta = \frac{10}{3 \cdot 5} \]

\[ \cos \theta = \frac{10}{15} \]

\[ \cos \theta = \frac{2}{3} \]

Косинус угла между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равен \(\frac{2}{3}\).