Найти косинус угла между векторами

Условие:

найти косинус угла между векторами

Решение:

Этот вопрос относится к курсу аналитической геометрии или линейной алгебры. Мы будем использовать скалярное произведение векторов для нахождения косинуса угла между ними. Итак, у нас есть два вектора: \[ \mathbf{a} = (2, -1, -2) \] \[ \mathbf{b} = (3, -4, 0) \] Шаг 1: Найдите скалярное произведение \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \] \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-4) + (-2) \cdot 0 \] \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 6 + 4 + 0 \] \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 10 \] Шаг 2: Найдите длину вектора \(\mathbf{a}\): \[ \| \mathbf{a} \| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \] \[ \| \mathbf{a} \| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} \] \[ \| \mathbf{a} \| = \sqrt{4 + 1 + 4} \] \[ \| \mathbf{a} \| = \sqrt{9} \] \[ \| \mathbf{a} \| = 3 \] Шаг 3: Найдите длину вектора \(\mathbf{b}\): \[ \| \mathbf{b} \| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} \] \[ \| \mathbf{b} \| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} \] \[ \| \mathbf{b} \| = \sqrt{9 + 16 + 0} \] \[ \| \mathbf{b} \| = \sqrt{25} \] \[ \| \mathbf{b} \| = 5 \] Шаг 4: Найдите косинус угла между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\): \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\| \mathbf{a} \| \| \mathbf{b} \|} \] \[ \cos \theta = \frac{10}{3 \cdot 5} \] \[ \cos \theta = \frac{10}{15} \] \[ \cos \theta = \frac{2}{3} \] Косинус угла между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равен \(\frac{2}{3}\).