Найти корни многочленов

Определение предмета и раздела

Предмет: Алгебра
Раздел: Теория многочленов

Задание: Найти корни многочлена \(\ f(x) \) и разложить его на линейные множители.

Дано:

\[ f(x) = x^4 - 3x^3 - 12x^2 + 52x - 48 \]

Шаг 1: Найдем возможные рациональные корни по теореме Виета

Используем теорему о рациональных корнях (теорему Виета). Возможные рациональные корни находятся среди делителей свободного члена и делителей старшего коэффициента.

• Свободный член: \( -48 \)
• Старший коэффициент: \( 1 \)

Таким образом, возможные рациональные корни — это делители числа \( -48 \):

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48 \]

Шаг 2: Пробуем найти действительные корни методом подбора

Подставляем значения в многочлен, чтобы найти точные корни.

Для \( x = 2 \):

\[ f(2) = 2^4 - 3(2^3) - 12(2^2) + 52(2) - 48 = 16 - 24 - 48 + 104 - 48 = 0 \]

Значит, \( x = 2 \) — корень многочлена.

Шаг 3: Выполним деление многочлена на \( (x - 2) \)

Теперь разделим многочлен \( f(x) \) на \( (x - 2) \) с помощью схемы Горнера или стандартного деления многочленов. Многочлен \( f(x) = x^4 - 3x^3 - 12x^2 + 52x - 48 \) делим на \( (x - 2) \).

Деление:

1. Берем первый член \( x^4 \) и делим на \( x \), получаем \( x^3 \).
2. Умножаем \( x^3 \) на \( (x - 2) \), это будет \( x^4 - 2x^3 \).
3. Вычитаем: \( (x^4 - 3x^3) - (x^4 - 2x^3) = -x^3 \).
4. Далее делим: \( -x^3 / x = -x^2 \).

Повторяем этот процесс:

\[ \frac{x^4 - 3x^3 - 12x^2 + 52x - 48}{x - 2} = x^3 - x^2 - 10x + 24 \]

Шаг 4: Продолжаем разложение

Теперь найдем корни для многочлена \( x^3 - x^2 - 10x + 24 \).

Опять применяем метод подбора для возможных корней \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \ldots \).

Для \( x = 3 \):

\[ f(3) = 3^3 - 3^2 - 10(3) + 24 = 27 - 9 - 30 + 24 = 0 \]

Значит, \( x = 3 \) — корень.

Шаг 5: Делим многочлен на \( (x - 3) \)

Теперь делим многочлен \( x^3 - x^2 - 10x + 24 \) на \( (x - 3) \).

Это деление:

\[ \frac{x^3 - x^2 - 10x + 24}{x - 3} = x^2 + 2x - 8 \]

Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 8 \)

Решаем квадратное уравнение:

\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]

Находим дискриминант:

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Корни квадратного уравнения будут:

\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \]

Шаг 7: Полное разложение на множители

Таким образом, многочлен \( f(x) \) раскладывается на множители:

\[ f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 4)(x - 2) \]

Или можно записать как:

Ответ:

Корни многочлена \( f(x) \): \( x = 2 \) (кратность 2), \( x = 3 \), \( x = -4 \).
Разложение на линейные множители: \[ f(x) = (x - 2)^2(x - 3)(x + 4) \]

\[ f(x) = (x - 2)^2(x - 3)(x + 4) \]