Найти корень уравнения

Предмет: Комплексные числа

Раздел: Операции с комплексными числами, уравнения с комплексными числами

Дано уравнение: \[ (1 - i) \cdot z + (6 - 4i) = (2 - 6i)(1 + i) \]

Требуется найти \(\text{Re}(z_0)\), где \(z_0\) — корень этого уравнения.

Шаг 1. Найдем правую часть уравнения, умножив комплексные числа:

В правой части уравнения нужно перемножить комплексные числа \((2 - 6i) \cdot (1 + i)\). Используем формулу для умножения комплексных чисел \((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\):

\[ (2 - 6i)(1 + i) = (2 \cdot 1 - (-6) \cdot 1) + (2 \cdot i + (-6i) \cdot 1) \]

\[ = (2 + 6) + (2i - 6i) \]

\[ = 8 - 4i \]

Таким образом, правая часть уравнения равна \(8 - 4i\).

Шаг 2. Подставим результат в уравнение:

Уравнение теперь выглядит так: \[ (1 - i) \cdot z + (6 - 4i) = 8 - 4i \]

Шаг 3. Приведем подобные члены:

Уберем \( (6 - 4i) \) с левой стороны уравнения, отправив его в правую часть с противоположным знаком: \[ (1 - i) \cdot z = (8 - 4i) - (6 - 4i) \]

Вычтем комплексные числа: \[ (8 - 4i) - (6 - 4i) = (8 - 6) + (-4i + 4i) = 2 + 0i \]

Таким образом, уравнение принимает вид: \[ (1 - i) \cdot z = 2 \]

Шаг 4. Найдем значение \(z\):

Теперь нужно решить это уравнение относительно \(z\). Для этого поделим правую часть на комплексное число \(1 - i\). Напомним, что деление на комплексное число производится с помощью домножения числителя и знаменателя на сопряженное к знаменателю число. Сопряженное к \(1 - i\) — это \(1 + i\). Домножим числитель и знаменатель на \(1 + i\):

\[ z = \frac{2}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{2(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} \]

В знаменателе используем формулу: \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\):

\[ (1 - i)(1 + i) = 1^2 - (-i)^2 = 1 + 1 = 2 \]

Таким образом: \[ z = \frac{2(1 + i)}{2} = 1 + i \]

Шаг 5. Запишем решение:

Шаг 6. Найдем действительную часть числа \( z_0 \):

Действительная часть комплексного числа \( z_0 = 1 + i \) равна: \[ \text{Re}(z_0) = 1 \]

Ответ: \(\text{Re}(z_0) = 1\).

Мы нашли, что \( z_0 = 1 + i \).