Найти координаты x в базисе (а1,а2,а3)

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Переход между базисами

Дано два базиса:

1. Стандартный базис (e_1, e_2, e_3).
2. Новый базис (a_1, a_2, a_3), заданный через стандартный:

 \begin{cases} a_1 = e_1 + e_2 - e_3, \ a_2 = e_1 - e_2, \ a_3 = -e_1 + e_2 + e_3. \end{cases} 

Вектор x задан в стандартном базисе:
x = (12,2,-10).

1. Запишем матрицу перехода

Представим новый базис в виде матрицы перехода P, где столбцы — координаты векторов a_1, a_2, a_3 в стандартном базисе:

 P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \ 1 & -1 & 1 \ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} 

2. Найдем обратную матрицу P^{-1}

Обратная матрица P^{-1} нужна для нахождения координат вектора x в новом базисе:

 P^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} 

3. Вычислим координаты в новом базисе

Вектор координат в новом базисе [x]_{A} находим по формуле:

 [x]_{A} = P^{-1} \cdot x 

Выполним умножение:

 \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 12 \ 2 \ -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} (12) + \frac{1}{2} (2) + 0 (-10) \ \frac{1}{2} (12) - \frac{1}{2} (2) + 1 (-10) \ \frac{1}{2} (12) + \frac{1}{2} (2) + 1 (-10) \end{bmatrix} 

Вычисляем:

 \begin{bmatrix} \frac{12 + 2}{2} \ \frac{12 - 2}{2} - 10 \ \frac{12 + 2}{2} - 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{14}{2} \ \frac{10}{2} - 10 \ \frac{14}{2} - 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \ 5 - 10 \ 7 - 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \ -5 \ -3 \end{bmatrix} 

Ответ:

Координаты вектора x в базисе (a_1, a_2, a_3):

[x]_{A} = (7, -5, -3).