Найти координаты вершин трапеции. Сделать чертеж

Определение предмета и раздела:

Задание относится к геометрии из раздела аналитическая геометрия на плоскости. В этом разделе решаются задачи, связанные с фигурами на координатной плоскости, где уравнения используются для определения взаимного положения линий (в данном случае прямых). Мы будем находить точки пересечения прямых, чтобы определить координаты вершин трапеции.

Разбор условия:

Даны уравнения четырех прямых:

1. \( 4x - y + 6 = 0 \)
2. \( x - 2y + 5 = 0 \)
3. \( 2x + 3y - 18 = 0 \)
4. \( x - 2y - 2 = 0 \)

Необходимо найти координаты вершин трапеции. Для этого нужно найти точки пересечения пар прямых.

Шаг 1: Нахождение координат точек пересечения прямых.

1. Первая пара:

\( 4x - y + 6 = 0 \) и \( x - 2y + 5 = 0 \)

Метод решения — система уравнений.

\[ 4x - y = -6 \quad \text{(1)} \]

\[ x - 2y = -5 \quad \text{(2)} \]

Выразим \( y \) из уравнения (1):

\[ y = 4x + 6 \]

Подставим это в уравнение (2):

\[ x - 2(4x + 6) = -5 \]

\[ x - 8x - 12 = -5 \]

\[ -7x = 7 \]

\[ x = -1 \]

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = -1 \) в уравнение \( y = 4x + 6 \):

\[ y = 4(-1) + 6 = -4 + 6 = 2 \]

Значит, первая точка пересечения — \( A(-1, 2) \).

2. Вторая пара:

\( x - 2y + 5 = 0 \) и \( 2x + 3y - 18 = 0 \)

Решаем систему:

\[ x - 2y = -5 \quad \text{(1)} \]

\[ 2x + 3y = 18 \quad \text{(2)} \]

Выразим \( x \) из уравнения (1):

\[ x = 2y - 5 \]

Подставим \( x = 2y - 5 \) в уравнение (2):

\[ 2(2y - 5) + 3y = 18 \]

\[ 4y - 10 + 3y = 18 \]

\[ 7y - 10 = 18 \]

\[ 7y = 28 \]

\[ y = 4 \]

Теперь найдем \( x \), подставив \( y = 4 \) в уравнение \( x = 2y - 5 \):

\[ x = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3 \]

Значит, вторая точка пересечения — \( B(3, 4) \).

3. Третья пара:

\( 2x + 3y - 18 = 0 \) и \( x - 2y - 2 = 0 \)

Решаем систему:

\[ 2x + 3y = 18 \quad \text{(1)} \]

\[ x - 2y = 2 \quad \text{(2)} \]

Выразим \( x \) из уравнения (2):

\[ x = 2y + 2 \]

Подставим это в уравнение (1):

\[ 2(2y + 2) + 3y = 18 \]

\[ 4y + 4 + 3y = 18 \]

\[ 7y + 4 = 18 \]

\[ 7y = 14 \]

\[ y = 2 \]

Теперь найдем \( x \), подставив \( y = 2 \) в уравнение \( x = 2y + 2 \):

\[ x = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6 \]

Значит, третья точка пересечения — \( C(6, 2) \).

4. Четвертая пара:

\( 4x - y + 6 = 0 \) и \( x - 2y - 2 = 0 \)

Решаем систему:

\[ 4x - y = -6 \quad \text{(1)} \]

\[ x - 2y = 2 \quad \text{(2)} \]

Выразим \( y \) из уравнения (1):

\[ y = 4x + 6 \]

Подставим это в уравнение (2):

\[ x - 2(4x + 6) = 2 \]

\[ x - 8x - 12 = 2 \]

\[ -7x - 12 = 2 \]

\[ -7x = 14 \]

\[ x = -2 \]

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = -2 \) в уравнение \( y = 4x + 6 \):

\[ y = 4(-2) + 6 = -8 + 6 = -2 \]

Значит, четвертая точка пересечения — \( D(-2, -2) \).

Шаг 2: Чертеж

1. Построим точки \( A(-1, 2) \), \( B(3, 4) \), \( C(6, 2) \), \( D(-2, -2) \) на координатной плоскости.
2. Соединим точки \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) между собой, чтобы получить трапецию.

Шаг 3: Проверка, что фигура — трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны.

• Прямые \( 4x - y + 6 = 0 \) и \( 2x + 3y - 18 = 0 \) не параллельны, т.к. их угловые коэффициенты \( k_1 = 4 \) и \( k_2 = -\frac{2}{3} \) отличаются.
• Прямые \( x - 2y + 5 = 0 \) и \( x - 2y - 2 = 0 \) параллельны, т.к. их угловые коэффициенты одинаковы \( k_1 = \frac{1}{2} \).

Следовательно, фигура — трапеция, так как одна пара сторон параллельна.

Ответ:

Координаты вершин трапеции

Вершины трапеции заданы следующими координатами:

• \( A(-1, 2) \)
• \( B(3, 4) \)
• \( C(6, 2) \)
• \( D(-2, -2) \)

Чертёж должен представлять собой трапецию с параллельными сторонами \( AB \) и \( CD \).