Найти канонический вид приводящий к этому виду, для квадратичной формы f(x1,x2,x3,x4) = x1*x2+2x1*x3, решить методом Лагранжа

Условие:

найдите канонический вид приводящий к этому виду, для квадратичной формы f(x1,x2,x3,x4) = x1*x2+2x1*x3, решить методом Лагранжа

Решение:

Безусловно, я помогу найти канонический вид квадратичной формы \( f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 x_2 + 2 x_1 x_3 \) методом Лагранжа. Это задание относится к предмету "Высшая математика", разделу "Линейная алгебра и квадратичные формы". Давайте решим задание пошагово: 1. **Запишем квадратичную форму в матричном виде**: Квадратичная форма \( f(x_1, x_2, x_3, x_4) \) может быть представлена как \( \mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x} \), где \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \) и \( \mathbf{A} \) — симметричная матрица. Для этого, заметим, что: \[ f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 x_2 + 2 x_1 x_3 \] То есть, представим в виде суммы: \[ f(\mathbf{x}) = \sum_{i \leq j} a_{ij} x_i x_j \] Здесь \( a_{12} = \frac{1}{2} \), \( a_{13} = 2 \) и \( a_{ij} = 0 \) для всех других \( i \) и \( j \). Матрица \( \mathbf{A} \) будет: \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 2. **Диагонализируем матрицу \( \mathbf{A} \)**: Теперь метод Лагранжа помогает найти канонический вид формы через эквивалентное преобразование, сведя матрицу к диагональному виду или к форме Жордана. Выпишем квадратичную форму шаг за шагом: \[ f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 x_2 + 2 x_1 x_3 \] 3. **Использование метода Лагранжа**: Метод Лагранжа поможет найти преобразования таких, что диагонализированные представления будут выражаться через новые переменные. В нашей квадратичной форме только \( x_1 \) присутствует с другими переменными. Перепишем форму \( f \) представим её проще через подставные переменные \( y_1 \): \[ y_1 = x_1(x_2 + 2x_3) \] Новых переменных \( y_2, y_3, y_4 \) и не требуется, так как других взаимодействий кроме, \( x_1 \),\( x_2 \), \( x_3 \) отсутствуют. Таким образом функция представляется как линейного вида разложение. На финальном шаге пересечение с точками к последним неизменным переменным \( y_i = x_i , i=2,3,4\). По итогу канонический вид: \[ f(y_1,y_2,y_3,y_4) = y_1 \] Таким образом, канонический вид квадратичной формы найден и оказывается существенного изменения переменных, путем преобразования переменной \( y_1 \).