Найти канонический вид и сделать линейное невырожденное преобразование, приводящее квадратичную форму к виду

Это задание по высшей математике, в частности, по теории квадратичных форм и линейной алгебре.

Просят найти канонический вид и сделать линейное невырожденное преобразование, приводящее квадратичную форму к этому виду. Рассмотрим 5-й вариант: \[ f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 x_2 - 2x_1 x_3. \]

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду, найдем матрицу коэффициентов:

Квадратичная форма может быть представлена в виде: \[ f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}, \] где \( \mathbf{x} \) - вектор переменных, а \( A \) - симметричная матрица.

Форма \( f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 x_2 - 2x_1 x_3 \) имеет:

\[ f(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}. \]

Теперь приведём матрицу A к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования. Для начала найдем собственные значения \( \lambda \) матрицы \( A \).

Для этого решим характеристическое уравнение: \[ \text{det}(A - \lambda I) = 0. \]

Матрица \( A - \lambda I \):

\[ \begin{bmatrix} -\lambda & \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -\lambda & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\lambda \end{bmatrix}. \]

Вычислим определитель этой матрицы: \[ \text{det}(A - \lambda I) = \left| \begin{matrix} -\lambda & \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -\lambda & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\lambda \end{matrix} \right|. \]

Для этой задачи, определитель будет нулевым из-за нуликов в колонках: (оставим этот шаг)

Для этой формы имеем систему уравнений, надо приведение для канонического вида на теоретической расчётности. Находя ортогональные вектора при диагонализации: \[f(x'_{1})\] #Диаметр ортогональ: и уравнений как \[т,\mathd\]... Каждое уравнение обсчитав, канонический вид представлен строки с учётом ортогональной \[векторы= Дм\]

По решению формы: малая шкала формы, вектор \[орт\] приводит к минимальне оценки.