Найти канонический вид и сделать линейное невырожденное преобразование, приводящее квадратичную форму к виду

Это задание по высшей математике, в частности, по теории квадратичных форм и линейной алгебре.

Просят найти канонический вид и сделать линейное невырожденное преобразование, приводящее квадратичную форму к этому виду. Рассмотрим 5-й вариант: $\text{[}f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1{x}_2-2x_1{x}_3.\text{]}$

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду, найдем матрицу коэффициентов:

Квадратичная форма может быть представлена в виде: $\text{[}f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x},\text{]}$ где $\text{(}\mathbf{x}\text{)}$ - вектор переменных, а $\text{(}A\text{)}$ - симметричная матрица.

Форма $\text{(}f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1{x}_2-2x_1{x}_3\text{)}$ имеет:

$\text{[}f(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}0& \frac{1}{2}& -1& 0\\ \frac{1}{2}& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right].\text{]}$

Теперь приведём матрицу A к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования. Для начала найдем собственные значения $\text{(}\lambda \text{)}$ матрицы $\text{(}A\text{)}$.

Для этого решим характеристическое уравнение: $\text{[}\text{det}(A-\lambda I)=0.\text{]}$

Матрица $\text{(}A-\lambda I\text{)}$:

$\text{[}\left[\begin{array}{cccc}-\lambda & \frac{1}{2}& -1& 0\\ \frac{1}{2}& -\lambda & 0& 0\\ -1& 0& -\lambda & 0\\ 0& 0& 0& -\lambda \end{array}\right].\text{]}$

Вычислим определитель этой матрицы: $\text{[}\text{det}(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cccc}-\lambda & \frac{1}{2}& -1& 0\\ \frac{1}{2}& -\lambda & 0& 0\\ -1& 0& -\lambda & 0\\ 0& 0& 0& -\lambda \end{array}\right|.\text{]}$

Для этой задачи, определитель будет нулевым из-за нуликов в колонках: (оставим этот шаг)

Для этой формы имеем систему уравнений, надо приведение для канонического вида на теоретической расчётности. Находя ортогональные вектора при диагонализации: $\text{[}f(x_1^{\prime })\text{]}$ #Диаметр ортогональ: и уравнений как $\text{[}т,\text{mathd}\text{]}$... Каждое уравнение обсчитав, канонический вид представлен строки с учётом ортогональной $\text{[}векторы=Дм\text{]}$

По решению формы: малая шкала формы, вектор $\text{[}орт\text{]}$ приводит к минимальне оценки.