Найти канонический вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к данному виду квадратичной формы

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Квадратичные формы и приведение квадратичных форм к каноническому виду

Задача

Найти канонический вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к данному виду квадратичной формы $\text{(}{x}_1{x}_2-3x_2{x}_3\text{)}$.

Решение:

1. Представление квадратичной формы в матричном виде

Общая запись квадратичной формы выглядит как: $\text{[}Q(x_1,x_2,x_3)=x^{T}Ax\text{]}$, где $\text{(}A\text{)}$ — симметричная матрица квадратичной формы.

Для заданной формы $\text{(}{x}_1{x}_2-3x_2{x}_3\text{)}$, запишем соответствующую симметрическую матрицу $\text{(}A\text{)}$.

1. Элемент $\text{(}{x}_1{x}_2\text{)}$ соответствует элементу матрицы на пересечении первого и второго столбца/строки, т.е. $\text{(}{a}_{12}\text{)}$ и $\text{(}{a}_{21}\text{)}$.
2. Элемент $\text{(}-3x_2{x}_3\text{)}$ соответствует элементам на пересечении второго и третьего столбца/строки, то есть $\text{(}{a}_{23}\text{)}$ и $\text{(}{a}_{32}\text{)}$.

Так как матрица симметрична, получаем такую матрицу $\text{(}A\text{)}$:

$\text{[}A=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& 0& -\frac{3}{2}\\ 0& -\frac{3}{2}& 0\end{array}\right)\text{]}$

2. Нахождение собственных значений матрицы A

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду, нужно найти собственные значения матрицы $\text{(}A\text{)}$. Собственные значения находятся как корни характеристического уравнения:

$\text{[}det(A-\lambda I)=0,\text{]}$ где $\text{(}I\text{)}$ — это единичная матрица, а $\text{(}\lambda \text{)}$ — собственные значения.

Рассчитаем характеристический полином.

$\text{[}A-\lambda I=\left(\begin{array}{ccc}-\lambda & \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& -\lambda & -\frac{3}{2}\\ 0& -\frac{3}{2}& -\lambda \end{array}\right)\text{]}$

Теперь определитель:

$\text{[}det(A-\lambda I)=-\lambda det\left(\begin{array}{cc}-\lambda & \frac{1}{2}\\ -\frac{3}{2}& -\lambda \end{array}\right)+\frac{1}{2}det\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{3}{2}\\ 0& -\lambda \end{array}\right)\text{]}$

Посчитаем детерминанты:

$\text{[}det\left(\begin{array}{cc}-\lambda & \frac{1}{2}\\ -\frac{3}{2}& -\lambda \end{array}\right)={\lambda }^2-\frac{3}{4}\text{]}$

$\text{[}det\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{3}{2}\\ 0& -\lambda \end{array}\right)=-\frac{1}{2}\cdot (-\lambda )=\frac{\lambda }{2}\text{]}$

Теперь подставим всё в характеристический полином:

$\text{[}det(A-\lambda I)=-\lambda ({\lambda }^2-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}\cdot \frac{\lambda }{2}\text{]}$

$\text{[}=-{\lambda }^3+\frac{3}{4}\lambda +\frac{\lambda }{4}\text{]}$

$\text{[}=-{\lambda }^3+\lambda .\text{]}$

3. Нахождение корней характеристического уравнения

Характеристический полином $\text{(}-{\lambda }^3+\lambda =0\text{)}$. Вынесем $\text{(}\lambda \text{)}$ за скобки:

$\text{[}\lambda ({\lambda }^2-1)=0\text{]}$

Корни этого уравнения:

$\text{[}{\lambda }_1=0,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=-1.\text{]}$

4. Приведение к каноническому виду

Наши собственные значения: $\text{(}0,1,-1\text{)}$. Каноническая форма квадратичной формы будет иметь следующий вид:

$\text{[}Q(y_1,y_2,y_3)=y_2^2-y_3^2\text{]}$

5. Линейное преобразование

Для того чтобы выполнить линейное невырожденное преобразование, нужно найти соответствующие собственные векторы матрицы $\text{(}A\text{)}$, которые будут образовывать базис в новом пространстве. Решив систему $\text{(}(A-\lambda I)v=0\text{)}$ для каждого собственного значения $\text{(}\lambda \text{)}$, получаем собственные векторы $\text{(}{v}_1,v_2,v_3\text{)}$, которые и дадут переход от переменных $\text{(}{x}_1,x_2,x_3\text{)}$ к переменным $\text{(}{y}_1,y_2,y_3\text{)}$.

Ответ:

Канонический вид квадратичной формы: $\text{(}{y}_2^2-y_3^2\text{)}$.