Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Квадратичные формы и приведение квадратичных форм к каноническому виду
Задача
Найти канонический вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к данному виду квадратичной формы .
Решение:
1. Представление квадратичной формы в матричном виде
Общая запись квадратичной формы выглядит как: , где — симметричная матрица квадратичной формы.
Для заданной формы , запишем соответствующую симметрическую матрицу .
- Элемент соответствует элементу матрицы на пересечении первого и второго столбца/строки, т.е. и .
- Элемент соответствует элементам на пересечении второго и третьего столбца/строки, то есть и .
Так как матрица симметрична, получаем такую матрицу :
2. Нахождение собственных значений матрицы A
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду, нужно найти собственные значения матрицы . Собственные значения находятся как корни характеристического уравнения:
где — это единичная матрица, а — собственные значения.
Рассчитаем характеристический полином.
Теперь определитель:
Посчитаем детерминанты:
Теперь подставим всё в характеристический полином:
3. Нахождение корней характеристического уравнения
Характеристический полином . Вынесем за скобки:
Корни этого уравнения:
4. Приведение к каноническому виду
Наши собственные значения: . Каноническая форма квадратичной формы будет иметь следующий вид:
5. Линейное преобразование
Для того чтобы выполнить линейное невырожденное преобразование, нужно найти соответствующие собственные векторы матрицы , которые будут образовывать базис в новом пространстве. Решив систему для каждого собственного значения , получаем собственные векторы , которые и дадут переход от переменных к переменным .
Ответ: