Найти канонический вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к данному виду квадратичной формы

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Квадратичные формы и приведение квадратичных форм к каноническому виду

Задача

Найти канонический вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к данному виду квадратичной формы \(x1x23x2x3\).

Решение:
1. Представление квадратичной формы в матричном виде

Общая запись квадратичной формы выглядит как: \[Q(x1,x2,x3)=xTAx\], где \(A\) — симметричная матрица квадратичной формы.

Для заданной формы \(x1x23x2x3\), запишем соответствующую симметрическую матрицу \(A\).

  1. Элемент \(x1x2\) соответствует элементу матрицы на пересечении первого и второго столбца/строки, т.е. \(a12\) и \(a21\).
  2. Элемент \(3x2x3\) соответствует элементам на пересечении второго и третьего столбца/строки, то есть \(a23\) и \(a32\).

Так как матрица симметрична, получаем такую матрицу \(A\):

\[A=(0120120320320)\]

2. Нахождение собственных значений матрицы A

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду, нужно найти собственные значения матрицы \(A\). Собственные значения находятся как корни характеристического уравнения:

\[det(AλI)=0,\] где \(I\) — это единичная матрица, а \(λ\) — собственные значения.

Рассчитаем характеристический полином.

\[AλI=(λ12012λ32032λ)\]

Теперь определитель:

\[det(AλI)=λdet(λ1232λ)+12det(12320λ)\]

Посчитаем детерминанты:

\[det(λ1232λ)=λ234\]

\[det(12320λ)=12(λ)=λ2\]

Теперь подставим всё в характеристический полином:

\[det(AλI)=λ(λ234)+12λ2\]

\[=λ3+34λ+λ4\]

\[=λ3+λ.\]

3. Нахождение корней характеристического уравнения

Характеристический полином \(λ3+λ=0\). Вынесем \(λ\) за скобки:

\[λ(λ21)=0\]

Корни этого уравнения:

\[λ1=0,λ2=1,λ3=1.\]

4. Приведение к каноническому виду

Наши собственные значения: \(0,1,1\). Каноническая форма квадратичной формы будет иметь следующий вид:

\[Q(y1,y2,y3)=y22y32\]

5. Линейное преобразование

Для того чтобы выполнить линейное невырожденное преобразование, нужно найти соответствующие собственные векторы матрицы \(A\), которые будут образовывать базис в новом пространстве. Решив систему \((AλI)v=0\) для каждого собственного значения \(λ\), получаем собственные векторы \(v1,v2,v3\), которые и дадут переход от переменных \(x1,x2,x3\) к переменным \(y1,y2,y3\).

Ответ:

Канонический вид квадратичной формы: \(y22y32\).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут