Найти канонический вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к данному виду квадратичной формы

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Квадратичные формы и приведение квадратичных форм к каноническому виду

Задача

Найти канонический вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к данному виду квадратичной формы \( x_1 x_2 - 3x_2 x_3 \).

Решение:

1. Представление квадратичной формы в матричном виде

Общая запись квадратичной формы выглядит как: \[ Q(x_1, x_2, x_3) = x^T A x \], где \( A \) — симметричная матрица квадратичной формы.

Для заданной формы \( x_1 x_2 - 3x_2 x_3 \), запишем соответствующую симметрическую матрицу \( A \).

1. Элемент \( x_1 x_2 \) соответствует элементу матрицы на пересечении первого и второго столбца/строки, т.е. \( a_{12} \) и \( a_{21} \).
2. Элемент \( -3x_2 x_3 \) соответствует элементам на пересечении второго и третьего столбца/строки, то есть \( a_{23} \) и \( a_{32} \).

Так как матрица симметрична, получаем такую матрицу \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix} \]

2. Нахождение собственных значений матрицы A

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду, нужно найти собственные значения матрицы \( A \). Собственные значения находятся как корни характеристического уравнения:

\[ \det(A - \lambda I) = 0, \] где \( I \) — это единичная матрица, а \( \lambda \) — собственные значения.

Рассчитаем характеристический полином.

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\lambda & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\lambda \end{pmatrix} \]

Теперь определитель:

\[ \det(A - \lambda I) = - \lambda \det \begin{pmatrix} -\lambda & \frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\lambda \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \det \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\lambda \end{pmatrix} \]

Посчитаем детерминанты:

\[ \det \begin{pmatrix} -\lambda & \frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - \frac{3}{4} \]

\[ \det \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\lambda \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \cdot (-\lambda) = \frac{\lambda}{2} \]

Теперь подставим всё в характеристический полином:

\[ \det(A - \lambda I) = -\lambda (\lambda^2 - \frac{3}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda}{2} \]

\[ = -\lambda^3 + \frac{3}{4} \lambda + \frac{\lambda}{4} \]

\[ = -\lambda^3 + \lambda. \]

3. Нахождение корней характеристического уравнения

Характеристический полином \( -\lambda^3 + \lambda = 0 \). Вынесем \( \lambda \) за скобки:

\[ \lambda (\lambda^2 - 1) = 0 \]

Корни этого уравнения:

\[ \lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = 1, \quad \lambda_3 = -1. \]

4. Приведение к каноническому виду

Наши собственные значения: \( 0, 1, -1 \). Каноническая форма квадратичной формы будет иметь следующий вид:

\[ Q(y_1, y_2, y_3) = y_2^2 - y_3^2 \]

5. Линейное преобразование

Для того чтобы выполнить линейное невырожденное преобразование, нужно найти соответствующие собственные векторы матрицы \( A \), которые будут образовывать базис в новом пространстве. Решив систему \( (A - \lambda I) v = 0 \) для каждого собственного значения \( \lambda \), получаем собственные векторы \( v_1, v_2, v_3 \), которые и дадут переход от переменных \( x_1, x_2, x_3 \) к переменным \( y_1, y_2, y_3 \).

Ответ:

Канонический вид квадратичной формы: \( y_2^2 - y_3^2 \).