Найти канонический вид и линейное невырожденное преобразование, приводящее к этому виду, для квадратичной формы x1*x2-3*x2*x3

Определение предмета и раздела:

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Квадратичные формы и их канонический вид

Решение задания:

Для того чтобы найти канонический вид квадратичной формы \( Q(x) = x_1x_2 - 3x_2x_3 \) и линейное невырожденное преобразование, приводящее к этому каноническому виду, следуем следующим шагам:

1. Запись квадратичной формы в матричном виде

Квадратичную форму \( Q(x) \) можно представить в виде квадратичной формы с помощью симметричной матрицы \( A \):

\[ Q(x) = x^T A x \]

Где \( x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \). Рассмотрим матрицу \( A \) такой, что:

\[ x_1x_2 - 3x_2x_3 = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]

2. Преобразование матрицы к диагональному виду

Для приведения матрицы \( A \) к каноническому (диагональному) виду, необходимо найти ее собственные значения и собственные векторы.

Найдём собственные значения \(\lambda \)

Решим характеристический полином \(\det(A - \lambda I) = 0 \), где \( I \) — единичная матрица:

\[ \det \begin{pmatrix} - \lambda & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & - \lambda & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & -\lambda \end{pmatrix} = 0 \]

Вычислим детерминант:

\[ \det(A - \lambda I) = -\lambda \begin{vmatrix} -\lambda & -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\lambda \end{vmatrix} - \frac{1}{2} \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} \]

\[ = -\lambda (\lambda^2 + \frac{9}{4}) + 0 \]

\[ = -\lambda^3 - \frac{9}{4}\lambda = 0 \]

Из этого уравнения мы получаем собственные значения:

\[ \lambda (\lambda^2 + \frac{9}{4}) = 0 \]

Это дает:

\[ \lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = \frac{3}{2}i, \quad \lambda_3 = -\frac{3}{2}i \]

Собственные значения \( \frac{3}{2}i \) и \( -\frac{3}{2}i \) являются мнимыми, что указывает на комплексные собственные векторы и усложняет задачу поиска явно линейного преобразования в действительном пространстве для упрощения.

3. Канонический вид через комплексное преобразование

Проще воспользоваться методом приведения к стандартной форме через ортогональное преобразование, избегая комплексных собственных векторов. Но для упрощения задачи, собственно, оставаться нужна дополнительная продвинутая техника — ортогональная диагонализация. Так как мы сталкиваемся с комплексным разложением, преобразование становится весьма сложным для нематричной задачи. Вывод возможен через альтернативные методы спектрального разложения, или форм Кэнни-Гамиля или Шура канонически.

Заключение

Для полного вывода и точного математического формата задачи необходима дополнительная продвинутая алгебраика и спектальная теория, используйте специализированные приложения или библиотеку математического ПО для точного вычисления приведение к каноническому виду данной квадратичной формы через комплексное или иные преобразования.