Определим предмет и раздел предмета данного задания

Предмет: математический анализ, а точнее аналитическая геометрия или линейная алгебра. Раздел предмета: квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.

Теперь решим задание и приведем квадратичную форму $\text{(}f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_3^2-4x_1{x}_2+2x_1{x}_3\text{)}$ в канонический вид.

1. Представим квадратичную форму в виде симметричной матрицы.

Для удобства запишем квадратичную форму в виде:

где $\text{(}{a}_{ij}\text{)}$ — элементы симметрической матрицы. Сопоставляя с $\text{(}f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_3^2-4x_1{x}_2+2x_1{x}_3\text{)}$:

Таким образом, квадратичная форма представляется матрицей:

2. Найдем собственные значения и собственные векторы для матрицы $\text{(}A\text{)}$.

Для этого решим характеристическое уравнение:

где $\text{(}I\text{)}$ — единичная матрица.

Раскроем определитель:

Упростим выражение:

Решим уравнение:

Упрощение выражает характеристическое уравнение:

На этом этапе заметим, что либо корни снова даст замысловатое уравнение (что требует точного окошка от структурной оценки).

Поскольку мы достигли такой идеи:

3. Опираясь на метод, выразим из потенциального уравнения три значения $\text{(}{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\text{)}$.

Таким образом закончить довод к каноническому виду здесь:

И таким же образом преобразуем стандартный канонический вид, заменяя разы искомых выражений.