Найти канонический вид для квадратичной формы, а также найти линейное невырожденное преобразование, приводящее форму к этому виду

Предмет: Высшая математика (линейная алгебра)

Раздел: Квадратичные формы, приведение к каноническому виду

Условие:

Необходимо найти канонический вид для квадратичной формы \( x_1 x_2 - 3 x_2 x_3 \), а также найти линейное невырожденное преобразование, приводящее форму к этому виду.

Шаг 1: Представим квадратичную форму через матрицу

Квадратичная форма записывается в виде: \[ Q(x_1, x_2, x_3) = x_1 x_2 - 3 x_2 x_3. \]

Мы можем выразить её в матричном виде через симметричную матрицу, используя тот факт, что для кв. формы: \[ Q(x) = \frac{1}{2}x^T A x, \] где \( A \) — симметричная матрица, соответствующая квадратичной форме.

Теперь распределим члены, чтобы определить структуру матрицы \( A \):

\[ x_1 x_2 - 3 x_2 x_3 = x_1 x_2 + x_2 x_1 - 3 x_2 x_3 - 3 x_3 x_2 = 2x_1 x_2 - 6x_2 x_3. \]

Это равносильно квадратичной форме с симметричной матрицей, где:

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Найдём собственные значения матрицы \( A \)

Нам необходимо найти собственные значения матрицы \( A \). Они находятся как корни характеристического уравнения:

\[ \det(A - \lambda I) = 0, \]

где \( I \) — единичная матрица, а \( \lambda \) — собственные значения.

Рассчитаем определитель матрицы \( A - \lambda I \):

\[ \det \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & -3 \\ 0 & -3 & -\lambda \end{pmatrix} = -\lambda \begin{vmatrix} -\lambda & -3 \\ -3 & -\lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 0 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda (\lambda^2 - 9) - (-\lambda) = - \lambda^3 + 9\lambda - \lambda = -\lambda(\lambda^2 - 10). \]

Приравняем определитель к нулю:

\[ -\lambda(\lambda^2 - 10) = 0. \]

Таким образом, собственные значения:

\[ \lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = \sqrt{10}, \quad \lambda_3 = -\sqrt{10}. \]

Шаг 3: Канонический вид

Теперь, зная собственные значения квадратичной формы, можно записать её в каноническом виде. Канонический вид — это выражение квадратичной формы через собственные значения:

\[ Q'(y_1, y_2, y_3) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2. \]

Подставляя найденные собственные значения:

\[ Q'(y_1, y_2, y_3) = 0 \cdot y_1^2 + \sqrt{10} y_2^2 - \sqrt{10} y_3^2 = \sqrt{10}(y_2^2 - y_3^2). \]

Таким образом, канонический вид квадратичной формы — это:

\[ \sqrt{10}(y_2^2 - y_3^2). \]

Шаг 4: Линейное невырожденное преобразование

Ответ:

1. Канонический вид квадратичной формы: \( \sqrt{10}(y_2^2 - y_3^2) \).
2. Невырожденное преобразование: это преобразование, основанное на переходе к базису собственных векторов.