Найти канонический вид для квадратичной формы, а также найти линейное невырожденное преобразование, приводящее форму к этому виду

Предмет: Высшая математика (линейная алгебра)

Раздел: Квадратичные формы, приведение к каноническому виду

Условие:

Необходимо найти канонический вид для квадратичной формы $\text{(}{x}_1{x}_2-3x_2{x}_3\text{)}$, а также найти линейное невырожденное преобразование, приводящее форму к этому виду.

Шаг 1: Представим квадратичную форму через матрицу

Квадратичная форма записывается в виде: $\text{[}Q(x_1,x_2,x_3)=x_1{x}_2-3x_2{x}_3.\text{]}$

Мы можем выразить её в матричном виде через симметричную матрицу, используя тот факт, что для кв. формы: $\text{[}Q(x)=\frac{1}{2}{x}^{T}Ax,\text{]}$ где $\text{(}A\text{)}$ — симметричная матрица, соответствующая квадратичной форме.

Теперь распределим члены, чтобы определить структуру матрицы $\text{(}A\text{)}$:

$\text{[}{x}_1{x}_2-3x_2{x}_3=x_1{x}_2+x_2{x}_1-3x_2{x}_3-3x_3{x}_2=2x_1{x}_2-6x_2{x}_3.\text{]}$

Это равносильно квадратичной форме с симметричной матрицей, где:

$\text{[}A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& -3\\ 0& -3& 0\end{array}\right)\text{]}$

Шаг 2: Найдём собственные значения матрицы $\text{(}A\text{)}$

Нам необходимо найти собственные значения матрицы $\text{(}A\text{)}$. Они находятся как корни характеристического уравнения:

$\text{[}det(A-\lambda I)=0,\text{]}$

где $\text{(}I\text{)}$ — единичная матрица, а $\text{(}\lambda \text{)}$ — собственные значения.

Рассчитаем определитель матрицы $\text{(}A-\lambda I\text{)}$:

$\text{[}det\left(\begin{array}{ccc}-\lambda & 1& 0\\ 1& -\lambda & -3\\ 0& -3& -\lambda \end{array}\right)=-\lambda \left|\begin{array}{cc}-\lambda & -3\\ -3& -\lambda \end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 0& -\lambda \end{array}\right|=-\lambda ({\lambda }^2-9)-(-\lambda )=-{\lambda }^3+9\lambda -\lambda =-\lambda ({\lambda }^2-10).\text{]}$

Приравняем определитель к нулю:

$\text{[}-\lambda ({\lambda }^2-10)=0.\text{]}$

Таким образом, собственные значения:

$\text{[}{\lambda }_1=0,{\lambda }_2=\sqrt{10},{\lambda }_3=-\sqrt{10}.\text{]}$

Шаг 3: Канонический вид

Теперь, зная собственные значения квадратичной формы, можно записать её в каноническом виде. Канонический вид — это выражение квадратичной формы через собственные значения:

$\text{[}{Q}^{\prime }(y_1,y_2,y_3)={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+{\lambda }_3{y}_3^2.\text{]}$

Подставляя найденные собственные значения:

$\text{[}{Q}^{\prime }(y_1,y_2,y_3)=0\cdot y_1^2+\sqrt{10}{y}_2^2-\sqrt{10}{y}_3^2=\sqrt{10}(y_2^2-y_3^2).\text{]}$

Таким образом, канонический вид квадратичной формы — это:

$\text{[}\sqrt{10}(y_2^2-y_3^2).\text{]}$

Шаг 4: Линейное невырожденное преобразование

Ответ:

1. Канонический вид квадратичной формы: $\text{(}\sqrt{10}(y_2^2-y_3^2)\text{)}$.
2. Невырожденное преобразование: это преобразование, основанное на переходе к базису собственных векторов.