Найти градиент и величину градиента в точке M(2;1)

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математический анализ
Раздел: Векторный анализ (градиент скалярного поля)

Решение:

Дано скалярное поле:
 u = 5x^2 + 6xy 

1. Найдем градиент:

Градиент скалярного поля  u(x, y)  определяется как вектор частных производных:

 \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) 

Найдем частные производные:

•  \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (5x^2 + 6xy) = 10x + 6y 
•  \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (5x^2 + 6xy) = 6x 

Следовательно, градиент:

 \nabla u = (10x + 6y, 6x) 

2. Вычислим градиент в точке  M(2,1) :

Подставляем  x = 2  и  y = 1 :

 \nabla u (2,1) = (10(2) + 6(1), 6(2)) = (20 + 6, 12) = (26, 12) 

3. Найдем величину градиента:

Величина градиента — это модуль вектора  \nabla u :

 |\nabla u| = \sqrt{(26)^2 + (12)^2} 

 |\nabla u| = \sqrt{676 + 144} = \sqrt{820} \approx 28.64 

Ответ:

1. Градиент:  \nabla u = (26, 12) 
2. Величина градиента:  |\nabla u| \approx 28.64