Найти градиент и величину градиента в точке M(2;1)

Предмет: Математика
Раздел: Векторный анализ

1. Нахождение градиента функции

Градиент скалярной функции ( u(x, y) ) — это вектор, составленный из частных производных функции по каждой переменной:

 \(\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right)\) 

Дана функция:

 \( u(x, y) = 5x^2 + 6xy \) 

Найдем частные производные:

1. Частная производная по ( x ):

 \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (5x^2 + 6xy) = 10x + 6y\) 

2. Частная производная по ( y ):

 \(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (5x^2 + 6xy) = 6x\) 

Таким образом, градиент:

 \(\nabla u = (10x + 6y, 6x)\) 

2. Подстановка точки ( M(2,1) )

Подставим ( x = 2 ), ( y = 1 ):

 \(\nabla u (2,1) = (10(2) + 6(1), 6(2)) = (20 + 6, 12) = (26, 12)\) 

3. Величина градиента

Величина градиента (модуль вектора) находится по формуле:

 \(|\nabla u| = \sqrt{(26)^2 + (12)^2}\) 

Вычислим:

 |\nabla u| = \sqrt{676 + 144} = \sqrt{820} \approx 28.64 

Ответ:

1. Градиент функции: \(\nabla u = (10x + 6y, 6x)\)
2. В точке ( M(2,1) ): \(\nabla u (2,1) = (26,12)\)
3. Величина градиента: \(|\nabla u| \approx 28.64\)