Найти главный угловой минор 2-го порядка матрицы, соответствующей квадратичной форме

Условие:

Реши задачу

Решение:

**Предмет: Математика** **Раздел: Линейная алгебра** Задача требует найти главный угловой минор 2-го порядка матрицы, соответствующей квадратичной форме \( 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3 - x_3^2 \). Для начала найдем матрицу квадратичной формы. Общая форма квадратичного выражения может быть записана через симметричную матрицу \(A\) следующим образом: \[ f(x) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \] где \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\). В нашей задаче квадратичная форма: \[ 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3 - x_3^2. \] Можно переписать её, выделив коэффициенты перед произведениями переменных: \[ 2x_1^2 + (-2)x_1x_2 + 4x_1x_3 + 0 \cdot x_2^2 + 0 \cdot x_2x_3 - 1 \cdot x_3^2 \] В общем виде для 3-х коэффициентов: \[ f(x) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + a_{33}x_3^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 \] Учитывая, что \(a_{ij} = a_{ji}\) для симметричной матрицы, коэффициенты можно выделить: - \( a_{11} = 2 \) - \( a_{22} = 0 \) - \( a_{33} = -1 \) - \( a_{12} = -1 \) (поскольку в квадратичной форме \( a_{12} x_1 x_2 \) представлен как \( - 2 x_1 x_2 \), следовательно \( 2 \cdot a_{12} = -2 \)) - \( a_{13} = 2 \) - \( a_{23} = 0 \) Таким образом, матрица \(A\) выглядит следующим образом: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] **Главный угловой минор** 2-го порядка - это определитель подматрицы размером \(2 \times 2\), которую можно получить из верхнего левого угла \(A\): \[ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \] Находим определитель этой матрицы по формуле для 2x2 матриц: \[ \text{det} = (2 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1)) = 0 - 1 = -1 \] Таким образом, **главный угловой минор 2-го порядка равен** \(-1\).