Найти фундаментальные решения системы линейных однородных алгебраических уравнений

Условие:

Решение:

Предмет: Высшая математика. Раздел: Линейная алгебра. Задание: Найти фундаментальные решения системы линейных однородных алгебраических уравнений. Система уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 - 2x_3 + 2x_4 = 0, \\ 2x_1 - x_2 + 3x_3 - x_4 = 0, \\ 4x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 0 \end{cases} \] 1. Перепишем систему уравнений в матричной форме \(A \mathbf{x} = \mathbf{0}\), где \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 3 & -1 \\ 4 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] 2. Приведем матрицу \(A\) к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Шаг 1: Уменьшим первую строку: \[ \text{Первая строка не изменяется}: \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 3 & -1 \\ 4 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \] Шаг 2: Отнимем удвоенную первую строку от второй строки: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \\ 2 - 2\cdot1 & -1 - 2\cdot1 & 3 - 2\cdot(-2) & -1 - 2\cdot2 \\ 4 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \\ 0 & -3 & 7 & -5 \\ 4 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \] Шаг 3: Отнимем четырёхкратную первую строку от третьей строки: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \\ 0 & -3 & 7 & -5 \\ 4 - 4\cdot1 & 1 - 4\cdot1 & -1 - 4\cdot(-2) & 3 - 4\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \\ 0 & -3 & 7 & -5 \\ 0 & -3 & 7 & -5 \end{pmatrix} \] Шаг 4: Выровняем систему убрав дублирующие строки с помощью сложения строк: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 2 \\ 0 & -3 & 7 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Теперь система уравнений имеет вид: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 - 2 x_3 + 2 x_4 = 0, \\ -3 x_2 + 7 x_3 - 5 x_4 = 0, \end{cases} \] 3. Найдем фундаментальные решения. Параметризуем \(x_3 = t\) и \(x_4 = s\), где \(t\) и \(s\) - свободные параметры. Решим уравнения относительно \(x_1\) и \(x_2\): \[ x_1 = - x_2 + 2 t - 2 s, \] \[ -3 x_2 + 7 t - 5 s = 0 \implies x_2 = \frac{7 t - 5 s}{3} \] Итак, общее решение системы: \[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2t - 2s - \frac{7t - 5s}{3} \\ \frac{7t - 5s}{3} \\ t \\ s \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} \frac{-1}{3} \\ \frac{7}{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{-5}{3} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] Таким образом, система имеет два фундаментальных решения: \[ \mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} \frac{-1}{3} \\ \frac{7}{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{-5}{3} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] Найденные векторы \(\mathbf{u}_1\) и \(\mathbf{u}_2\) являются фундаментальными решениями данной системы линейных однородных уравнений.