Найти фундаментальную систему решений однородной системы и выразить через нее общее решение этой системы. Использовать теорему Кронекера-Капелли и теорему Крамера

Это задание относится к дисциплине "Линейная алгебра", а конкретно оно касается раздела, связанного с решением систем линейных уравнений и поиском фундаментальных систем решений.

Шаг 1: Применение Теоремы Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы. Рассмотрим матрицу коэффициентов \( A \) и расширенную матрицу \( [A|b] \):

Шаг 2: Приведение матрицы к ступенчатому виду

Начнем с приведения \( A \) к ступенчатому виду методом элементарных преобразований строк.

1. Первая строка: Оставляем ее как есть.

2. Приведем первую строку:

3. Редуцируем вторую строку (путем вычитания 3*(первая строка)):

4. Редуцируем третью строку (путем вычитания 4*(первая строка)):

5. Приведем вторую строку:

6. Редуцируем третью строку (путем вычитания 7*(вторая строка)):

Это эквивалентно:

И это показывает, что ранг матрицы \( A = 3 \).

Шаг 3: Найти фундаментальную систему решений

Для данного уравнения будут две свободные переменные, так как количество переменных \( n = 4 \) больше ранга матрицы, который равен 3. Пусть \( x_3 \) и \( x_4 \) будут свободными переменными. Теперь выражаем остальные переменные через \( x_3 \) и \( x_4 \).

Из третьего уравнения системы:

Из второго уравнения:

Из первого уравнения:

Шаг 4: Общее решение

Пусть \( t = x_4 \):

Таким образом фундаментальная система решений будет выглядеть так:

или: