Найти фундаментальную систему решений однородной системы и выразить через нее общее решение этой системы. Использовать теорему Кронекера-Капелли и теорему Крамера

Условие:

Найти фундаментальную систему решений однородной системы и выразить через нее общее решение этой системы. Использовать теорему Кронекера-Капелли и теорему Крамера.

Решение:

Это задание относится к дисциплине **"Линейная алгебра"**, а конкретно оно касается **раздела, связанного с решением систем линейных уравнений** и **поиском фундаментальных систем решений**. ### Шаг 1: Применение Теоремы Кронекера-Капелли Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы. Рассмотрим матрицу коэффициентов \( A \) и расширенную матрицу \( [A|b] \): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 5 & 3 \\ 3 & -6 & 4 & 2 \\ 4 & -8 & 17 & 11 \end{pmatrix} \] ### Шаг 2: Приведение матрицы к ступенчатому виду Начнем с приведения \( A \) к ступенчатому виду методом элементарных преобразований строк. 1. **Первая строка**: Оставляем ее как есть. \[ \begin{pmatrix} 2 & -4 & 5 & 3 \\ 3 & -6 & 4 & 2 \\ 4 & -8 & 17 & 11 \end{pmatrix} \] 2. Приведем первую строку: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ 3 & -6 & 4 & 2 \\ 4 & -8 & 17 & 11 \end{pmatrix} \] 3. Редуцируем вторую строку (путем вычитания 3*(первая строка)): \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{7}{2} & -\frac{3}{2} \\ 4 & -8 & 17 & 11 \end{pmatrix} \] 4. Редуцируем третью строку (путем вычитания 4*(первая строка)): \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{7}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 7 & 5 \end{pmatrix} \] 5. Приведем вторую строку: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{7} \\ 0 & 0 & 7 & 5 \end{pmatrix} \] 6. Редуцируем третью строку (путем вычитания 7*(вторая строка)): \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{7} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{16}{7} \end{pmatrix} \] Это эквивалентно: \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] И это показывает, что ранг матрицы \( A = 3 \). ### Шаг 3: Найти фундаментальную систему решений Для данного уравнения будут две свободные переменные, так как количество переменных \( n = 4 \) больше ранга матрицы, который равен 3. Пусть \( x_3 \) и \( x_4 \) будут свободными переменными. Теперь выражаем остальные переменные через \( x_3 \) и \( x_4 \). Из третьего уравнения системы: \[ x_4 = -1 \] Из второго уравнения: \[ x_3 + \frac{3}{7} x_4 = 0 \] \[ x_3 = -\frac{3}{7}x_4 \] Из первого уравнения: \[ x_1 - 2x_2 + \frac{5}{2}(\frac{3}{7}x_4) + \frac{3}{2}x_4 \] \[ x_1 = 2x_2 - \frac{5}{2}(\frac{3}{7}x_4) - \frac{3}{2}x_4 \] \[ x_1 = 2x_2 - \frac{15}{14}x_4 - \frac{3}{2}x_4 \] \[ x_1 = 2x_2 - \frac{15}{14}x_4 - \frac{21}{14}x_4 \] \[ x_1 = 2x_2 - \frac{36}{14}x_4 \] \[ x_1 = 2x_2 - \frac{18}{7}x_4 \] ### Шаг 4: Общее решение Пусть \( t = x_4 \): \[ x_3 = -\frac{3}{7}t \] \[ x_4 = t \] \[ x_1 = 2x_2 - \frac{18}{7}t \] Таким образом фундаментальная система решений будет выглядеть так: \[ \begin{cases} x_1 = 2x_2 - \frac{18}{7}x_4 \\ x_2 \\ x_3 = -\frac{3}{7}x_4 \\ x_4 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x_1 = 2x_2 + \frac{18}{7}K \\ x_2 \\ x_3 = -\frac{3}{7}K \\ x_4 = K \end{cases} \] или: \[ \begin{cases} x_1 = 2 * (x_2 + \frac{18}{7}) K \\ x_2 \\ x_3 = -\frac{3}{7} * K \\ x_4 = K \end{cases} \]