Найти элемент в обратной матрице

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Обратные матрицы

Дана матрица

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \ 1 & -2 & 2 \ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Необходимо найти элемент a_{23} в обратной матрице A^{-1}.

Шаги решения:

1. Найти определитель матрицы A

Определитель A вычисляется по формуле:

 \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \ 1 & -2 & 2 \ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}. 

Разложим определитель по первому ряду:

 \text{det}(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 2 \ 1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \ 1 & 1 \end{vmatrix}. 

Вычислим каждый из малых определителей:

1. \begin{vmatrix} -2 & 2 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = (-2)(3) - (2)(1) = -6 - 2 = -8,
2. \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (2)(1) = 3 - 2 = 1,
3. \begin{vmatrix} 1 & -2 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (-2)(1) = 1 + 2 = 3.

Подставим значения:

 \text{det}(A) = 2(-8) - 1(1) + (-3)(3) = -16 - 1 - 9 = -26. 

2. Найти обратную матрицу A^{-1}

Обратная матрица вычисляется по формуле:

 A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{Adj}(A), 

где \text{Adj}(A) — присоединённая матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы A.

3. Найти алгебраические дополнения для элемента a_{23}

Элемент a_{23} обратной матрицы равен:

 a_{23} = \frac{\text{Алгебраическое дополнение элемента } a_{32}}{\text{det}(A)}. 

Алгебраическое дополнение элемента a_{32} вычисляется как:

 A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & -2 \end{vmatrix}. 

Вычислим малый определитель:

 \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (1)(1) = -4 - 1 = -5. 

Подставим:

 A_{32} = (-1)^5 \cdot (-5) = -5. 

Теперь найдём a_{23}:

 a_{23} = \frac{-5}{\text{det}(A)} = \frac{-5}{-26} = \frac{5}{26}. 

Ответ:

a_{23} = \frac{5}{26}