Найти экстремумы функции

Эта задача относится к математике, конкретно к разделу анализа функций нескольких переменных.

Давайте найдем экстремумы функции \( u = x^3 + y^2 + z^2 + 12xy + 2z \). Для нахождения экстремумов функции необходимо найти частные производные функции и определить критические точки. Затем проведем анализ второго порядка для классификации типов экстремумов (максимумы, минимумы, точки седла).

1. Найти частные производные первого порядка

Функция \( u \) является функцией трех переменных \( x, y, z \). Сначала найдем первые частные производные по каждой переменной.

1. Частная производная по \( x \): \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 + y^2 + z^2 + 12xy + 2z) = 3x^2 + 12y\)

2. Частная производная по \( y \): \(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3 + y^2 + z^2 + 12xy + 2z) = 2y + 12x\)

3. Частная производная по \( z \): \(\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (x^3 + y^2 + z^2 + 12xy + 2z) = 2z + 2\)

2. Найти критические точки

Для нахождения критических точек приравняем все частные производные к нулю и решим систему уравнений:

\(\begin{align*} 3x^2 + 12y & = 0 \\ 2y + 12x & = 0 \\ 2z + 2 & = 0 \end{align*}\)

Решим каждое уравнение поочередно:

1. Из уравнения \( 2z + 2 = 0 \): \(\Rightarrow z = -1\)

2. Подставим это значение \( z \) в другие уравнения. Теперь решим систему:

\(\begin{align*} 3x^2 + 12y & = 0 \\ 2y + 12x & = 0 \Rightarrow y = -6x \end{align*}\) Подставим \( y = -6x \) в первое уравнение: \(\Rightarrow 3x^2 - 72x = 0 \Rightarrow 3x(x - 24) = 0\)

Таким образом, \( x \) может быть \( 0 \) или \( 24 \). Для \( x = 0 \): \( y = 0 \), для \( x = 24 \): \( y = -144 \)

3. Проверка и классификация критических точек

Критические точки, которые у нас есть: \( (0, 0, -1) \) и \( (24, -144, -1) \)

Для проверки и классификации критических точек применим критерий Гессе (анализ второго порядка).

Найдём вторые частные производные:

1. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6x \)

2. \( \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2 \)

3. \( \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 2 \)

4. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = 12 \)

5. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial z} = 0 \)

6. \( \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial z} = 0 \)

Составим матрицу Гессе и проанализируем ее знаковую определенность в каждой критической точке, чтобы окончательно классифицировать экстремумы (минимумы, максимумы, точки седла).