Найти длину ребра. 2. Найти проекцию вектора на вектор. 3. Найти угол между ребрами 4. Найти площадь грани

Определим сначала предмет и раздел задания.

• Предмет: Математика.
• Раздел: Векторная алгебра, аналитическая геометрия.

Теперь мы приступим к решению задания. Для решения будем подробно разбирать каждый пункт.

Дано:

Координаты вершин пирамиды:

• A(2, -5, 3)
• B(3, 2, -5)
• C(5, -3, -2)
• D(-5, -3, 0)

Требуется:

1. Найти длину ребра AB.
2. Найти проекцию вектора \( \overrightarrow{BA} \) на вектор \( \overrightarrow{BD} \).
3. Найти угол между ребрами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AD} \).
4. Найти площадь грани ABC.

Шаг 1. Найдем длину ребра AB

Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \) вычисляется по формуле длины вектора:

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}. \]

Подставляем координаты:

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 2, 2 - (-5), -5 - 3) = (1, 7, -8). \]

Длина \( |\overrightarrow{AB}| \):

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 7^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 49 + 64} = \sqrt{114}. \]

Ответ: Длина ребра AB равна \( \sqrt{114} \) (приблизительно 10.68).

Шаг 2. Найдем проекцию вектора \( \overrightarrow{BA} \) на вектор \( \overrightarrow{BD} \)

1. Сначала найдем векторы \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BD} \):

\[ \overrightarrow{BA} = A - B = (2 - 3, -5 - 2, 3 - (-5)) = (-1, -7, 8), \]

\[ \overrightarrow{BD} = D - B = (-5 - 3, -3 - 2, 0 - (-5)) = (-8, -5, 5). \]

2. Вычислим скалярное произведение \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} \):

Формула скалярного произведения:

\[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2. \]

Подставляем координаты:

\[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = (-1)(-8) + (-7)(-5) + (8)(5) = 8 + 35 + 40 = 83. \]

3. Найдем длину вектора \( \overrightarrow{BD} \):

\[ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25 + 25} = \sqrt{114}. \]

4. Формула для проекции \( \text{proj}_{\overrightarrow{BD}} \overrightarrow{BA} \):

\[ \text{proj}_{\overrightarrow{BD}} \overrightarrow{BA} = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}. \]

Подставляем:

\[ \text{proj}_{\overrightarrow{BD}} \overrightarrow{BA} = \frac{83}{\sqrt{114}}. \]

Ответ: Проекция \( \overrightarrow{BA} \) на \( \overrightarrow{BD} \) равна \( \frac{83}{\sqrt{114}} \) (приблизительно 7.78).

Шаг 3. Найдем угол между ребрами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AD} \)

1. Сначала найдем два вектора \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AD} \):

Уже нашли \( \overrightarrow{AB} = (1, 7, -8) \), а теперь найдем \( \overrightarrow{AD} \):

\[ \overrightarrow{AD} = D - A = (-5 - 2, -3 - (-5), 0 - 3) = (-7, 2, -3). \]

2. Найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} \):

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (1)(-7) + (7)(2) + (-8)(-3) = -7 + 14 + 24 = 31. \]

3. Найдем длины векторов \( |\overrightarrow{AB}| \) и \( |\overrightarrow{AD}| \):

Длина \( |\overrightarrow{AB}| \) уже рассчитана: \( \sqrt{114} \). Теперь найдем длину \( |\overrightarrow{AD}| \):

\[ |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-7)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 4 + 9} = \sqrt{62}. \]

4. Найдем косинус угла между векторами:

Формула:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}|}. \]

Подставляем:

\[ \cos(\theta) = \frac{31}{\sqrt{114} \cdot \sqrt{62}}. \]

Угол \( \theta \):

\[ \theta = \arccos\left(\frac{31}{\sqrt{114} \cdot \sqrt{62}}\right). \]

Ответ: Угол между \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AD} \) равен \( \arccos\left(\frac{31}{\sqrt{114} \cdot \sqrt{62}}\right) \) (примерно 61.86 градусов).

Шаг 4. Найдем площадь грани ABC

1. Найдем два вектора в грани ABC:

\[ \overrightarrow{AB} = (1, 7, -8), \]

\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (5 - 2, -3 - (-5), -2 - 3) = (3, 2, -5). \]

2. Вычислим векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):

Формула для векторного произведения:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 7 & -8 \\ 3 & 2 & -5 \end{vmatrix}. \]

Разворачиваем определитель и выполняем вычисления:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-19, -19, -19). \]

3. Найдем длину вектора \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):

\[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-19)^2 + (-19)^2 + (-19)^2} = \sqrt{3 \cdot 361} = \sqrt{1083}. \]

4. Найдем площадь треугольника ABC:

Формула площади через векторное произведение:

\[ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|. \]

Подставляем:

\[ S = \frac{1}{2} \sqrt{1083}. \]

Окончательный ответ:

1. Длина ребра AB: \( \sqrt{114} \) (примерно 10.68).
2. Проекция \( \overrightarrow{BA} \) на \( \overrightarrow{BD} \): \( \frac{83}{\sqrt{114}} \) (приблизительно 7.78).
3. Угол между \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AD} \): \( \arccos\left(\frac{31}{\sqrt{114} \cdot \sqrt{62}}\right) \) (примерно 61.86°).
4. Площадь грани ABC: \( \frac{\sqrt{1083}}{2} \) (примерно 16.47).

Ответ: Площадь грани ABC равна \( \frac{\sqrt{1083}}{2} \) (приблизительно 16.47).