Найти длину

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Векторная алгебра

Давайте разберемся с задачей. У нас есть два вектора:

• Вектор ( \mathbf{a} = (2, -4, 0) )
• Вектор ( \mathbf{b} = (-1, 2, 0) )

Нужно найти длину ( \mathbf{a} + 26 \mathbf{b} ).

Шаг 1. Вычисление результирующего вектора ( \mathbf{c} = \mathbf{a} + 26 \mathbf{b} ).

Вектор ( \mathbf{b} ) умножается на число ( 26 ), а затем складывается с ( \mathbf{a} ):
[ \mathbf{c} = \mathbf{a} + 26 \mathbf{b} = (2, -4, 0) + 26 \cdot (-1, 2, 0). ]

Рассчитаем:
[ 26 \cdot (-1, 2, 0) = (-26, 52, 0). ]

Теперь сложим векторы по компонентам:
[ \mathbf{c} = (2, -4, 0) + (-26, 52, 0) = (2 - 26, -4 + 52, 0 + 0) = (-24, 48, 0). ]

Итак, результирующий вектор:
[ \mathbf{c} = (-24, 48, 0). ]

Шаг 2. Вычисление длины вектора ( \mathbf{c} ).

Формула длины вектора:
[ |\mathbf{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2 + c_z^2}. ]

Подставим компоненты вектора ( \mathbf{c} = (-24, 48, 0) ):
[ |\mathbf{c}| = \sqrt{(-24)^2 + 48^2 + 0^2}. ]

Рассчитаем:
[ (-24)^2 = 576, \quad 48^2 = 2304, \quad 0^2 = 0. ]

Сложим:
[ |\mathbf{c}| = \sqrt{576 + 2304 + 0} = \sqrt{2880}. ]

Разложим ( \sqrt{2880} ):
[ 2880 = 144 \cdot 20 = 12^2 \cdot 20 \implies \sqrt{2880} = 12 \cdot \sqrt{20}. ]

Упростим ( \sqrt{20} ):
[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2 \sqrt{5}. ]

Подставим:
[ \sqrt{2880} = 12 \cdot 2 \sqrt{5} = 24 \sqrt{5}. ]

Ответ:

Длина вектора ( \mathbf{a} + 26 \mathbf{b} ) равна:
[ |\mathbf{a} + 26 \mathbf{b}| = 24 \sqrt{5}. ]