Найти дивергенцию

Предмет: Векторный анализ
Раздел: Дифференциальные операторы векторного анализа

Дивергенция векторного поля \mathbf{A} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k} определяется как скалярная величина:

 \text{div} \, \mathbf{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} 

В данном случае векторное поле:

 \mathbf{a} = (xz + y)\mathbf{i} - (2yz - x)\mathbf{j} - (x^2 y^2)\mathbf{k} 

Компоненты векторного поля:

• P = xz + y
• Q = - (2yz - x) = x - 2yz
• R = -x^2 y^2

Теперь найдем частные производные:

 \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xz + y) = z 

 \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x - 2yz) = -2z 

 \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (-x^2 y^2) = 0 

Складываем:

 \text{div} \, \mathbf{a} = z - 2z + 0 = -z 

Ответ: \text{div} \, \mathbf{a} = -z