Найти базисы и размерности ядра и образа линейного преобразования

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Линейные преобразования

Задача: Найти базисы и размерности ядра и образа линейного преобразования, заданного матрицей \( A \).

Матрица \( A \) задана следующим образом:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Для решения задачи найдем ранг (размерность образа) и ядро этой матрицы.

1. Найдем ранг матрицы \( A \):

   Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса.

   Начальная матрица:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

   Сначала прибавим первую строку ко второй и третьей строкам, чтобы обнулить первые элементы во второй и третьей строках:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]

   Затем разделим вторую строку на 2 для упрощения:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]

   Теперь, прибавим удвоенную вторую строку к третьей строке, чтобы обнулить второй элемент третьей строки:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

   И, наконец, разделим третью строку на 2:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

   Полученная матрица находится в ступенчатом виде, все строки ненулевые, так что ранг матрицы \( A \) равен 3.

2. Найдем размерность ядра:

   Размерность ядра линейного преобразования можно найти по формуле:

   \[ \text{Размерность ядра} = n - \text{Ранг} \]

   где \( n \) - размерность пространства, в данном случае \( n = 3 \).

   Тогда:

   \[ \text{Размерность ядра} = 3 - 3 = 0 \]

   Таким образом, ядро {0} и оно тривиально.

3. Найти базисы образа и ядра:

   • Поскольку размерность ядра равна 0, то ядро является тривиальным и не имеет ненулевых элементов, поэтому базиса нет.
   • Базис образа определяется непосредственно из строк матрицы в ступенчатом виде.
   • Базисными векторами будут первые, вторые и третьи строки ступенчатой матрицы:

   \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

   • Таким образом, размерность ядра — 0, размерность образа — 3. Базис ядра отсутствует (так как ядро тривиально), а базис образа состоит из векторов \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).