Найти базисы и размерности ядра и образа линейного преобразования

Условие:

Реши задание

Решение:

Предмет: Линейная алгебра Раздел: Линейные преобразования Задача: Найти базисы и размерности ядра и образа линейного преобразования, заданного матрицей \( A \). Матрица \( A \) задана следующим образом: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] Для решения задачи найдем ранг (размерность образа) и ядро этой матрицы. 1. Найдем ранг матрицы \( A \): Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Начальная матрица: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] Сначала прибавим первую строку ко второй и третьей строкам, чтобы обнулить первые элементы во второй и третьей строках: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \] Затем разделим вторую строку на 2 для упрощения: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \] Теперь, прибавим удвоенную вторую строку к третьей строке, чтобы обнулить второй элемент третьей строки: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] И, наконец, разделим третью строку на 2: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Полученная матрица находится в ступенчатом виде, все строки ненулевые, так что ранг матрицы \( A \) равен 3. 2. Найдем размерность ядра: Размерность ядра линейного преобразования можно найти по формуле: \[ \text{Размерность ядра} = n - \text{Ранг} \] где \( n \) - размерность пространства, в данном случае \( n = 3 \). Тогда: \[ \text{Размерность ядра} = 3 - 3 = 0 \] Таким образом, ядро {0} и оно тривиально. 3. Найти базисы образа и ядра: - Поскольку размерность ядра равна 0, то ядро является тривиальным и не имеет ненулевых элементов, поэтому базиса нет. - Базис образа определяется непосредственно из строк матрицы в ступенчатом виде. Базисными векторами будут первые, вторые и третьи строки ступенчатой матрицы: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Таким образом, размерность ядра — 0, размерность образа — 3. Базис ядра отсутствует (так как ядро тривиально), а базис образа состоит из векторов \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).