Найти базисы и размерности образа и ядра оператора

Определение предмета и раздела

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Матрицы линейного оператора. Ядро и образ оператора

Задание 4 из варианта 4

Условие: В пространстве \( \mathbb{A}_3 \) линейный оператор \( \phi \) переводит вектор \( x = (x_1, x_2, x_3) \) в вектор \( \phi x = (2x_1 - x_2 - x_3, x_1 - 2x_2 + x_3, x_1 + 2x_2 - 2x_3) \). Найти базисы и размерности образа и ядра этого оператора.

Решение: Для нахождения базисов и размерностей образа и ядра оператора необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти матрицу линейного оператора в стандартном базисе: Сначала найдем матрицу линейного оператора \( \phi \) в стандартном базисе \( \mathbb{R}^3 \). Это делается путем применения оператора к базисным векторам \( e_1, e_2, e_3 \):

   \( e_1 = (1, 0, 0) \\ e_2 = (0, 1, 0) \\ e_3 = (0, 0, 1) \)
   Выражения функций для оператора:
   \( \phi(x_1, x_2, x_3) = (2x_1 - x_2 - x_3, x_1 - 2x_2 + x_3, x_1 + 2x_2 - 2x_3) \)
   Применяем оператор к каждому базисному вектору:
   \( \phi(e_1) = \phi(1, 0, 0) = (2\cdot1 - 0 - 0, 1\cdot1 - 2\cdot0 + 0, 1\cdot1 + 2\cdot0 - 0) = (2, 1, 1) \)
   \( \phi(e_2) = \phi(0, 1, 0) = (2\cdot0 - 1\cdot1 - 0, 1\cdot0 - 2\cdot1 + 0, 1\cdot0 + 2\cdot1 - 0) = (-1, -2, 2) \)
   \( \phi(e_3) = \phi(0, 0, 1) = (2\cdot0 - 0 - 1\cdot1, 1\cdot0 - 2\cdot0 + 1\cdot1, 1\cdot0 + 2\cdot0 - 2\cdot1) = (-1, 1, -2) \)

   Таким образом, матрица оператора \( \phi \) имеет вид: \[ [\phi] = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \]
2. Найти ранг матрицы \( [\phi] \): Следующий шаг - найти ранг матрицы. Для этого приведем матрицу к ступенчатому виду. \[\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}\] Преобразуем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк: \[ R_2 \leftarrow R_2 - \frac{1}{2}R_1 \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \] \[ R_3 \leftarrow R_3 - \frac{1}{2}R_1 \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} \end{pmatrix} \] \[ R_3 \leftarrow R_3 + \frac{5}{3}R_2 \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Получили ступенчатый вид матрицы с тремя ненулевыми строками, следовательно, ранг матрицы равен 2.
3. Найти ядро оператора \( \phi \): Для нахождения ядра \( \phi \), нужно решить однородное уравнение \( \phi x = 0 \): \[\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] Решаем систему уравнений: \[ 2x_1 - x_2 - x_3 = 0 \] \[ x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \] \[ x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \] Подставляем \( x_3 = t \) и решаем: \[ 2x_1 - x_2 - t = 0 \quad (1) \] \[ x_1 - 2x_2 = -t \quad (2) \] Умножим (2) на 2 и вычтем из (1): \[ 2x_1 - x_2 - 2x_1 + 4x_2 = t + 2t \implies 3x_2 = 3t \implies x_2 = t \] Подставляем \( x_2 = t \) в (2): \[ x_1 - 2t = -t \implies x_1 = t \] Следовательно, ядро \( \phi \) порождается вектором \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \). Базис ядра \( \phi \): \( \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \) Размерность ядра равна 1.
4. Найти образ оператора \( \phi \): Мы уже знаем, что ранг матрицы \( \phi \) равен 2. Значит, размерность образа равна 2. Чтобы найти базис образа, выберем из ступенчатого вида матрицы \( \phi \) векторы, соответствующие ненулевым строкам: \[\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}\] Делаем умножителем каждый вектор: \[\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\] Базис образа \( \phi \): \( \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \) Размерность образа вынесена за пределы текста.