Найти алгебраическую форму числа

Для начала давай разберёмся, к какому предмету относится это задание: речь идет о комплексных числах и их выражении в различных формах — это тема из раздела "Комплексные числа" предмета "Алгебра". Теперь приступим к решению задачи. Нам дано комплексное число в произведении экспоненциальной и тригонометрической форм. Задача состоит в переводе этого выражения в алгебраическую форму, то есть в виде \( z = a + bi \), где \( a \) и \( b \) — действительные числа.

Задано:

\[ z = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{11\pi}{2} i} \cdot \left( \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + i \cdot \sin\left( \frac{\pi}{4} \right)\right) \]

Шаг 1: Преобразуем \(\frac{11\pi}{2} \) по модулю \(2\pi\)

Фаза экспоненциального выражения \( \theta = \frac{11\pi}{2} \) может быть приведена по модулю \( 2\pi \), чтобы упростить дальнейшие вычисления. Заметим, что:

\[ \frac{11\pi}{2} = 2\pi \cdot 2 + \frac{3\pi}{2} \]

Это выражение эквивалентно углу \( \frac{3\pi}{2} \) (то есть тот же угол, что и при угле \( \frac{11\pi}{2} \)). Таким образом, вместо \( e^{\frac{11\pi}{2}i} \), можем использовать \( e^{\frac{3\pi}{2}i} \).

Шаг 2: Найдём экспоненциальную часть \( e^{i \frac{3\pi}{2}} \)

По формуле Эйлера:

\[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \]

При \( \theta = \frac{3\pi}{2} \):

\[ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0, \quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \]

Следовательно:

\[ e^{i \frac{3\pi}{2}} = 0 - i = -i \]

Шаг 3: Объединяем выражения

Теперь можем переписать исходное выражение:

\[ z = \sqrt{2} \cdot (-i) \cdot \left( \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + i \cdot \sin\left( \frac{\pi}{4} \right)\right) \]

Значения тригонометрических функций для угла \( \frac{\pi}{4} \) равны:

\[ \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Поэтому:

\[ \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + i \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Шаг 4: Умножаем всё вместе

Теперь можем подставить эти значения в наше выражение:

\[ z = \sqrt{2} \cdot (-i) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \]

Упростим произведение:

\[ z = (-i) \cdot \left(1 + i\right) \]

\[ (-i) \cdot (1 + i) = (-i) \cdot 1 + (-i) \cdot i = -i + 1 = 1 - i \]

Ответ: Алгебраическая форма комплексного числа \( z \) — это:

\[ z = 1 - i \]

Произведение \( (-i) \) и \( (1 + i) \) считается так: