Найти алгебраическое дополнение

Это задание относится к предмету "Линейная алгебра", разделу "Определители и алгебраические дополнения матриц".

Задание: Найти алгебраическое дополнение \(A^{3,4}_{1,3}\) минора \(M^{3,4}_{1,3}\) матрицы \(A\).

Алгебраическое дополнение элемента матрицы рассчитывается как: \[ A_{ij}^{pq} = (-1)^{i+j} \cdot \det(M_{ij}^{pq}), \] где \(i\) и \(j\) - индексы строки и столбца соответственно, а минор \(M_{ij}^{pq}\) - определитель матрицы, полученной из матрицы \(A\) путем удаления строки \(p\) и столбца \(q\).

Рассмотрим матрицу \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 3 & -3 & 4 & 2 \\ -1 & 4 & 6 & 7 \end{pmatrix} \]

1. Удаляем строку 3 и столбец 4 из матрицы \(A\), чтобы найти минор \(M^{3,4}_{1,3}\): Оставшаяся матрица: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]
2. Найдем определитель этой матрицы: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 6 - 0 \cdot 4) - 2 \cdot (2 \cdot 6 - 0 \cdot (-1)) + 5 \cdot (2 \cdot 4 - 1 \cdot (-1)) \]
3. Вычисляем: \[ = 1 \cdot 6 - 2 \cdot 12 + 5 \cdot 9 = 6 - 24 + 45 = 27 \]

Теперь, вычислим алгебраическое дополнение \(A^{3,4}_{1,3}\):

4. В формуле алгебраического дополнения \(A_{ij}^{pq}\) для \(i=1\) и \(j=3\): \[ A_{1,3}^{3,4} = (-1)^{1+3} \cdot 27 = (-1)^{4} \cdot 27 = 1 \cdot 27 = 27 \]

Таким образом, алгебраическое дополнение \(A^{3,4}_{1,3}\) равно 27.