Найти алгебраическое дополнение

Это задание относится к предмету "Линейная алгебра", разделу "Определители и алгебраические дополнения матриц".

Задание: Найти алгебраическое дополнение $\text{(}{A}_{1,3}^{3,4}\text{)}$ минора $\text{(}{M}_{1,3}^{3,4}\text{)}$ матрицы $\text{(}A\text{)}$.

Алгебраическое дополнение элемента матрицы рассчитывается как: $\text{[}{A}_{ij}^{pq}=(-1{)}^{i+j}\cdot det(M_{ij}^{pq}),\text{]}$ где $\text{(}i\text{)}$ и $\text{(}j\text{)}$ - индексы строки и столбца соответственно, а минор $\text{(}{M}_{ij}^{pq}\text{)}$ - определитель матрицы, полученной из матрицы $\text{(}A\text{)}$ путем удаления строки $\text{(}p\text{)}$ и столбца $\text{(}q\text{)}$.

Рассмотрим матрицу $\text{(}A\text{)}$: $\text{[}A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 5& -1\\ 2& 1& 0& 3\\ 3& -3& 4& 2\\ -1& 4& 6& 7\end{array}\right)\text{]}$

1. Удаляем строку 3 и столбец 4 из матрицы $\text{(}A\text{)}$, чтобы найти минор $\text{(}{M}_{1,3}^{3,4}\text{)}$: Оставшаяся матрица: $\text{[}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 1& 0\\ -1& 4& 6\end{array}\right)\text{]}$
2. Найдем определитель этой матрицы: $\text{[}\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 1& 0\\ -1& 4& 6\end{array}\right|=1\cdot (1\cdot 6-0\cdot 4)-2\cdot (2\cdot 6-0\cdot (-1))+5\cdot (2\cdot 4-1\cdot (-1))\text{]}$
3. Вычисляем: $\text{[}=1\cdot 6-2\cdot 12+5\cdot 9=6-24+45=27\text{]}$

Теперь, вычислим алгебраическое дополнение $\text{(}{A}_{1,3}^{3,4}\text{)}$:

4. В формуле алгебраического дополнения $\text{(}{A}_{ij}^{pq}\text{)}$ для $\text{(}i=1\text{)}$ и $\text{(}j=3\text{)}$: $\text{[}{A}_{1,3}^{3,4}=(-1{)}^{1+3}\cdot 27=(-1{)}^4\cdot 27=1\cdot 27=27\text{]}$

Таким образом, алгебраическое дополнение $\text{(}{A}_{1,3}^{3,4}\text{)}$ равно 27.