Найти а) объём пирамиды б) длину ребра А2А3, в) площадь грани А1,А2,А3, г) угол между рёбрами А1, А2 и А1,А4, д) периметр грани А1,А2,А3

Предмет: Математика

Раздел: Векторная алгебра, стереометрия

Нам даны координаты четырёх вершин пирамиды:

• \( A_1 (6; 6; 9) \)
• \( A_2 (4; 9; 5) \)
• \( A_3 (4; 6; 11) \)
• \( A_4 (6; 9; 3) \)

Задача состоит из нескольких пунктов. Будем решать все последовательно и давать объяснения.

а) Найти объём пирамиды \( A_1A_2A_3A_4 \)

Объём пирамиды можно найти по формуле:

\[ V = \frac{1}{6} \left| \vec{A_1A_2} \cdot (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4}) \right| \]

Где \(\vec{A_1A_2}\), \(\vec{A_1A_3}\), \(\vec{A_1A_4}\) — векторы, образованные вершинами пирамиды.

1. Найдём векторы:

\[ \vec{A_1A_2} = A_2 - A_1 = (4 - 6, 9 - 6, 5 - 9) = (-2, 3, -4) \]

\[ \vec{A_1A_3} = A_3 - A_1 = (4 - 6, 6 - 6, 11 - 9) = (-2, 0, 2) \]

\[ \vec{A_1A_4} = A_4 - A_1 = (6 - 6, 9 - 6, 3 - 9) = (0, 3, -6) \]

2. Найдём векторное произведение \( \vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4} \):

\[ \vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -6 \end{vmatrix} \]

\[ = \mathbf{i} \left( 0 \cdot (-6) - 2 \cdot 3 \right) - \mathbf{j} \left( -2 \cdot (-6) - 0 \cdot 0 \right) + \mathbf{k} \left( -2 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \right) \]

\[ = \mathbf{i} (-6) - \mathbf{j} (12) + \mathbf{k} (-6) \]

\[ = (-6, -12, -6) \]

3. Скалярное произведение \( \vec{A_1A_2} \cdot (\vec{A_1A_3} \times \vec{A_1A_4}) \):

\[ \vec{A_1A_2} \cdot (-6, -12, -6) = (-2) \cdot (-6) + 3 \cdot (-12) + (-4) \cdot (-6) \]

\[ = 12 - 36 + 24 = 0 \]

Поскольку скалярное произведение равно 0, объём пирамиды также равен 0. Это значит, что три вершины пирамиды лежат в одной плоскости, и пирамида вырождается в плоскую фигуру.

Ответ: объём пирамиды \(V = 0 \).

---

б) Найти длину ребра \( A_2A_3 \)

Длина ребра (отрезка) между двумя точками \( A_2 (x_2, y_2, z_2) \) и \( A_3 (x_3, y_3, z_3) \) вычисляется по формуле:

\[ |A_2A_3| = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2 + (z_3 - z_2)^2} \]

Подставляем координаты:

\[ |A_2A_3| = \sqrt{(4 - 4)^2 + (6 - 9)^2 + (11 - 5)^2} \]

\[ = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

Ответ: длина ребра \( A_2A_3 = 3\sqrt{5} \).

---

в) Найти площадь грани \( A_1A_2A_3 \)

Площадь треугольника, заданного тремя вершинами \( A_1 \), \( A_2 \), \( A_3 \), можно найти как половину модуля векторного произведения векторов, исходящих из одной вершины (например, \( \vec{A_1A_2} \) и \( \vec{A_1A_3} \)):

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}| \]

Ранее мы нашли векторы:

\[ \vec{A_1A_2} = (-2, 3, -4) \]

\[ \vec{A_1A_3} = (-2, 0, 2) \]

Найдём векторное произведение:

\[ \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 0 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ = \mathbf{i} \left( 3 \cdot 2 - (-4) \cdot 0 \right) - \mathbf{j} \left( -2 \cdot 2 - (-4) \cdot (-2) \right) + \mathbf{k} \left( -2 \cdot 0 - (-2) \cdot 3 \right) \]

\[ = \mathbf{i} (6) - \mathbf{j} ( -4 - 8) + \mathbf{k} (-6) \]

\[ = (6, 12, -6) \]

Теперь найдём его модуль:

\[ | (6, 12, -6) | = \sqrt{6^2 + 12^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 144 + 36} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \]

Площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{6} = 3\sqrt{6} \]

Ответ: Площадь грani \( A_1A_2A_3 = 3\sqrt{6} \).

---

г) Найти угол между рёбрами \( A_1A_2 \) и \( A_1A_4 \)

Угол между векторами \( \vec{A_1A_2} \) и \( \vec{A_1A_4} \) можно найти по формуле:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4}}{|\vec{A_1A_2}| |\vec{A_1A_4}|} \]

Мы уже нашли векторы:

\[ \vec{A_1A_2} = (-2, 3, -4) \]

\[ \vec{A_1A_4} = (0, 3, -6) \]

1. Скалярное произведение векторов:

\[ \vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4} = (-2) \cdot 0 + 3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-6) = 0 + 9 + 24 = 33 \]

2. Модули векторов:

\[ |\vec{A_1A_2}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \]

\[ |\vec{A_1A_4}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

3. Находим косинус угла:

\[ \cos \theta = \frac{33}{\sqrt{29} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{33}{3\sqrt{145}} = \frac{11}{\sqrt{145}} \]

---

д) Найти периметр грани \( A_1A_2A_3 \)

Периметр треугольника \( A_1A_2A_3 \) — это сумма длин его сторон. Нам нужно найти длины:

1. \( |A_1A_2| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \)
2. \( |A_1A_3| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
3. \( |A_2A_3| = 3\sqrt{5} \) (нашли ранее)

Периметр:

\[ P = \sqrt{29} + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{5} \]

Ответ: периметр гrани \( A_1A_2A_3 = \sqrt{29} + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{5} \).