Найти: 1. Размерности суммы подпространств 2. Размерности пересечения подпространств 3. Базисы суммы и пересечения подпространств

Предмет: Линейная алгебра

Тема: Подпространства, базисы и размерности

Определение задачи:

Мы имеем два подпространства:

• \( L_1 = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \rangle \)
• \( L_2 = \langle \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3 \rangle \)

Необходимо найти:

1. Размерности суммы подпространств \( L_1 + L_2 \).
2. Размерности пересечения подпространств \( L_1 \cap L_2 \).
3. Базисы суммы и пересечения подпространств.

Для этого:

1. Определим базисы подпространств \(L_1\) и \(L_2\).
2. Найдем размерности суммы и пересечения подпространств.
3. Определим базисы для суммы и пересечения.

Шаг 1: Нахождение размерности и базиса подпространств \( L_1 \) и \( L_2 \).

Матрицы подпространств:

Базисные векторы для \( L_1 \):

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Базисные векторы для \( L_2 \):

\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Заметим, что оба подпространства имеют по три вектора, что означает, что предварительно предполагаем, что их размерности равны трём.

Шаг 2: Нахождение суммы подпространств \( L_1 + L_2 \).

Чтобы найти размерность суммы подпространств, можно воспользоваться формулой:

\[ \dim(L_1 + L_2) = \dim(L_1) + \dim(L_2) - \dim(L_1 \cap L_2) \]

Для определения суммы можно объединить матрицы \( A \) и \( B \) и выполнить приведение к ступенчатому виду для обнаружения линейной зависимости. Объединим векторы обоих подпространств:

\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Приведём эту матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. После приведения к ступенчатому виду размерность равна 5. Таким образом:

\[ \dim(L_1 + L_2) = 5 \]

Шаг 3: Нахождение пересечения подпространств \( L_1 \cap L_2 \).

\[ \dim(L_1 \cap L_2) = 1 \]

Базисы суммы и пересечения:

• Базис суммы подпространств: базис состоит из векторов после приведения общей матрицы \( C \) к ступенчатому виду.
• Базис пересечения подпространств: базис включает один вектор, общий для обеих подпространств.

Ответы:

1. \( \dim(L_1 + L_2) = 5 \)
2. \( \dim(L_1 \cap L_2) = 1 \)
3. Базис суммы и пересечения вычисляется на основе ступенчатого вида объединённой матрицы.

Пересечение подпространств можно найти, решив систему \( A\mathbf{x} = B\mathbf{y} \). Приведение общей матрицы к ступенчатому виду показывает, что пересечение подпространств включает только один вектор. Таким образом, пересечение имеет размерность: