Найти: 1. Обратную матрицу. 2. Произведение матрицы на её обратную

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Матрицы. Обратная матрица.

Мы работаем с матрицами \( A \) и \( B \), и в задаче нужно найти:

1. Обратную матрицу \( A^{-1} \).
2. Произведение матрицы \( A \) на её обратную \( AA^{-1} \).

Шаг 1: Вычисление обратной матрицы \( A^{-1} \)

Известно, что обратная матрица \( A^{-1} \) существует только в том случае, если определитель матрицы \( A \neq 0 \). Поэтому первым шагом нужно найти определитель матрицы \( A \).

Матрица \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix} \]

Определитель матрицы \( A \) (\( \det(A) \)):

Для вычисления определителя квадратной матрицы \( 3 \times 3 \) воспользуемся формулой разложения по первой строке:

\[ \det(A) = 1 \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} \]

Теперь посчитаем миноры:

1. \( \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = (-4)(1) - (1)(-3) = -4 + 3 = -1 \)
2. \( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (1)(4) = 2 - 4 = -2 \)
3. \( \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (-4)(4) = -6 + 16 = 10 \)

Теперь подставим значения миноров:

\[ \det(A) = 1(-1) - 1(-2) + (-1)(10) = -1 + 2 - 10 = -9 \]

Раз определитель матрицы \( A \neq 0 \), значит, существует обратная матрица \( A^{-1} \).

Вычисление обратной матрицы \( A^{-1} \)

Формула для обратной матрицы:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \]

Где \( \text{adj}(A) \) — это присоединённая матрица, элементы которой получаются из алгебраических дополнений элементов матрицы \( A \).

Найдём алгебраические дополнения:

Для каждой позиции \( i,j \) вычислим дополнения.

1. \( A_{11} = \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = -1 \)
2. \( A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2 \)
3. \( A_{13} = \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 10 \)
4. \( A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \)
5. \( A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 5 \)
6. \( A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 7 \)
7. \( A_{31} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = -5 \)
8. \( A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3 \)
9. \( A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = -6 \)

Матрица алгебраических дополнений (транспонированная):

\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -5 \\ 2 & 5 & -3 \\ 10 & 7 & -6 \end{pmatrix} \]

Обратная матрица \( A^{-1} \):

\[ A^{-1} = \frac{1}{-9} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 & -5 \\ 2 & 5 & -3 \\ 10 & 7 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & -\frac{2}{9} & \frac{5}{9} \\ -\frac{2}{9} & -\frac{5}{9} & \frac{1}{3} \\ -\frac{10}{9} & -\frac{7}{9} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Вычисление произведения \( AA^{-1} \)

Теперь проверим, что произведение матрицы на её обратную даёт единичную матрицу:

\[ AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & -\frac{2}{9} & \frac{5}{9} \\ -\frac{2}{9} & -\frac{5}{9} & \frac{1}{3} \\ -\frac{10}{9} & -\frac{7}{9} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \]

Рассчитаем произведение матриц. Например, для первого элемента первой строки:

\[ 1 \cdot \frac{1}{9} + 1 \cdot -\frac{2}{9} + (-1) \cdot -\frac{10}{9} = \frac{1}{9} - \frac{2}{9} + \frac{10}{9} = 1 \]

\[ AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Ответ:

1. Обратная матрица \( A^{-1} \):

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & -\frac{2}{9} & \frac{5}{9} \\ -\frac{2}{9} & -\frac{5}{9} & \frac{1}{3} \\ -\frac{10}{9} & -\frac{7}{9} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \]

2. Произведение \( AA^{-1} \) равно единичной матрице:

\[ AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Аналогичным образом вычислим все элементы матрицы. В результате получим единичную матрицу: