Найдите ротор в точке M(2;-1;3)

Предмет: Векторный анализ
Раздел: Ротор векторного поля

Ротор векторного поля \mathbf{a} = (xz - 2y)\mathbf{i} + (xx + 2y)\mathbf{j} - (yz - 2x)\mathbf{k} определяется как:

 \operatorname{rot} \mathbf{a} = \nabla \times \mathbf{a} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ xz - 2y & xx + 2y & -yz - 2x \end{vmatrix} 

Вычислим определитель:

 \operatorname{rot} \mathbf{a} = \mathbf{i} \left( \frac{\partial}{\partial y} (-yz - 2x) - \frac{\partial}{\partial z} (xx + 2y) \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\partial}{\partial x} (-yz - 2x) - \frac{\partial}{\partial z} (xz - 2y) \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\partial}{\partial x} (xx + 2y) - \frac{\partial}{\partial y} (xz - 2y) \right) 

Находим частные производные:

• \frac{\partial}{\partial y} (-yz - 2x) = -z
• \frac{\partial}{\partial z} (xx + 2y) = 0
• \frac{\partial}{\partial x} (-yz - 2x) = -2
• \frac{\partial}{\partial z} (xz - 2y) = x
• \frac{\partial}{\partial x} (xx + 2y) = 2x
• \frac{\partial}{\partial y} (xz - 2y) = -2

Подставляем:

 \operatorname{rot} \mathbf{a} = \mathbf{i} (-z - 0) - \mathbf{j} (-2 - x) + \mathbf{k} (2x + 2) 

 \operatorname{rot} \mathbf{a} = (-z) \mathbf{i} + (2 + x) \mathbf{j} + (2x + 2) \mathbf{k} 

Подставляем координаты точки M(2, -1, 3):

 \operatorname{rot} \mathbf{a} = (-3) \mathbf{i} + (2 + 2) \mathbf{j} + (2(2) + 2) \mathbf{k} 

 \operatorname{rot} \mathbf{a} = -3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k} 

Ответ: \operatorname{rot} \mathbf{a} = (-3, 4, 6) в точке M(2, -1, 3).