Найдите наибольшее собственное значение матрицы

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Собственные значения и собственные векторы матрицы

Для нахождения наибольшего собственного значения матрицы необходимо решить характеристическое уравнение. Это уравнение получается из детерминанта матрицы [A - \lambda I], где [\lambda] — собственное значение, а [I] — единичная матрица.

Дана матрица:

 A = \begin{pmatrix} 2 & -5 & -8 \ -8 & -6 & -2 \ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix} 

Шаг 1: Составим характеристическую матрицу

Характеристическая матрица имеет вид [A - \lambda I]:

 A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & -5 & -8 \ -8 & -6 - \lambda & -2 \ 4 & 3 & 1 - \lambda \end{pmatrix} 

Шаг 2: Найдем характеристический многочлен

Характеристическое уравнение получается из условия:

 \det(A - \lambda I) = 0 

Рассчитаем определитель матрицы [A - \lambda I]:

 \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & -5 & -8 \ -8 & -6 - \lambda & -2 \ 4 & 3 & 1 - \lambda \end{vmatrix} 

Рассчитаем этот определитель методом разложения по первой строке:

 \det(A - \lambda I) = (2 - \lambda) \begin{vmatrix} -6 - \lambda & -2 \ 3 & 1 - \lambda \end{vmatrix} - (-5) \begin{vmatrix} -8 & -2 \ 4 & 1 - \lambda \end{vmatrix} - 8 \begin{vmatrix} -8 & -6 - \lambda \ 4 & 3 \end{vmatrix} 

Шаг 3: Решение характеристического уравнения

После раскрытия определителя и упрощения характеристическое уравнение примет вид:

 -\lambda^3 + \lambda^2 - 59\lambda - 291 = 0 

Решим это кубическое уравнение (например, методом подбора корней или с использованием численных методов). Корни уравнения:

 \lambda_1 = 19, \quad \lambda_2 = -3, \quad \lambda_3 = -15 

Шаг 4: Ответ

Наибольшее собственное значение матрицы:

\lambda_{\text{max}} = 19