Найдите матрицу

Определим предмет и раздел

Задание относится к линейной алгебре, разделу определители матриц и операции с ними.

Дано

У нас есть две матрицы:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & 8 \\ 6 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 0 & 2 & 8 \\ 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}^{T}. \]

Требуется найти \(\det(A \cdot B)\).

Шаг 1. Раскроем свойства определителей

Свойство определителя для произведения матриц:

\[ \det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B). \]

Таким образом, чтобы найти \(\det(A \cdot B)\), достаточно вычислить \(\det(A)\) и \(\det(B)\), а затем их перемножить.

Шаг 2. Найдем \(\det(A)\)

Для матрицы \(A\) порядок матрицы — \(3 \times 3\). Используем формулу для определителя:

\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & 8 \\ 6 & 0 & 1 \end{vmatrix}. \]

Разложим по первому ряду:

\[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 8 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} + (-4) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 6 & 0 \end{vmatrix}. \]

Вычисляем каждый минор:

1. Для первого минора: \[ \begin{vmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 8 \cdot 0 = 1. \]
2. Для второго минора: \[ \begin{vmatrix} 0 & 8 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 8 \cdot 6 = -48. \]
3. Для третьего минора: \[ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 6 = -6. \]

Подставим значения в формулу:

\[ \det(A) = 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-48) + (-4) \cdot (-6). \]

\[ \det(A) = 1 + 96 + 24 = 121. \]

Шаг 3. Найдем \(\det(B)\)

Матрица \(B\) является транспонированной. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной:

\[ \det(B) = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 0 & 2 & 8 \\ 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \]

Разложим по первому ряду:

\[ \det(B) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 8 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} + (-4) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 0 \end{vmatrix}. \]

Вычисляем каждый минор:

1. Для первого минора: \[ \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 8 \cdot 0 = 6. \]
2. Для второго минора: \[ \begin{vmatrix} 0 & 8 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} = 0 \cdot 3 - 8 \cdot 6 = -48. \]
3. Для третьего минора: \[ \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 - 2 \cdot 6 = -12. \]

Подставим значения в формулу:

\[ \det(B) = 1 \cdot 6 - 2 \cdot (-48) + (-4) \cdot (-12). \]

\[ \det(B) = 6 + 96 + 48 = 150. \]

Шаг 4. Найдем \(\det(A \cdot B)\)

Подставим значения:

\[ \det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B). \]

\[ \det(A \cdot B) = 121 \cdot 150 = 18150. \]

Ответ:

\[ \det(A \cdot B) = 18150. \]