Найдите квадрат длины вектора

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Векторы, скалярное произведение, длина вектора

Дано:
|\mathbf{a}| = 4, |\mathbf{b}| = 1, угол между векторами \mathbf{a} и \mathbf{b} равен 60^\circ.
Требуется найти квадрат длины вектора \mathbf{c} = -\mathbf{a} - 2\mathbf{b}.

1. Формула длины вектора

Квадрат длины вектора \mathbf{c} вычисляется по формуле:
 |\mathbf{c}|^2 = \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} 

Подставляем \mathbf{c}:
 (-\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) \cdot (-\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) 

Раскрываем скобки, используя свойства скалярного произведения:
 |\mathbf{a}|^2 + 4 |\mathbf{b}|^2 + 4 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) 

2. Вычисление скалярного произведения

Скалярное произведение векторов:
 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos 60^\circ 
Подставляем значения:
 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 2 

3. Подставляем в выражение

 |\mathbf{c}|^2 = 4^2 + 4 \cdot 1^2 + 4 \cdot 2 
 = 16 + 4 + 8 = 28 

Ответ: 28