Найдите коэффициенты a, b, c многочлена, если известно, что все пять его корней положительны

Предмет и раздел

Это задание относится к предмету математика, раздел алгебра. Конкретный подраздел — многочлены и их корни.

Условие задачи

Дан многочлен: \[ x^5 - 10x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 32, \] где \( a, b, c \) — неизвестные коэффициенты. Известно, что все пять корней многочлена положительны.

Подход к решению

Шаг 1. Сумма корней

По теореме Виета для многочлена пятой степени, \[ x^5 - 10x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 32 = 0, \] коэффициент перед \(x^4\) равен \(-10\) (с учетом знака). Это значит, что сумма всех корней многочлена равна \(10\). Пусть корни обозначены как \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\). Тогда: \[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 10. \tag{1} \]

Шаг 2. Произведение корней

Свободный член многочлена (\(-32\)) равен \((-1)^n P\), где \(P\) — произведение всех корней. Так как степень \(n = 5\) — нечетная, знак сохраняется. Следовательно: \[ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot x_5 = 32. \tag{2} \]

Шаг 3. Коэффициенты многочлена

• сумму произведений корней, взятых по двум (для \(b\)),
• сумму произведений корней, взятых по трём (для \(a\)),
• сумму произведений корней, взятых по четырем (для \(b\)).

Дополнительные коэффициенты многочлена \(a, b, c\) выражаются через: