Найдите дивергенцию

Предмет: Векторный анализ
Раздел: Дифференциальные операторы векторного анализа

Дивергенция векторного поля ( \mathbf{A} ) определяется как скалярная величина, равная сумме частных производных его компонент по соответствующим координатам:

 \text{div} \, \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} 

Дано векторное поле:

 \mathbf{A} = x^2 \mathbf{i} - y^2 \mathbf{j} + 5xy^2 \mathbf{k} 

Рассчитаем частные производные:

1. \frac{\partial A_x}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} = 2x
2. \frac{\partial A_y}{\partial y} = \frac{\partial (-y^2)}{\partial y} = -2y
3. \frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac{\partial (5xy^2)}{\partial z} = 0 (так как в выражении нет зависимости от ( z ))

Теперь найдем дивергенцию:

 \text{div} \, \mathbf{A} = 2x - 2y + 0 = 2x - 2y 

Ответ:
Дивергенция векторного поля \mathbf{A} равна 2x - 2y.