Найди ранги матриц квадратичных форм

Данное задание относится к линейной алгебре, разделу о квадратичных формах.

Необходимо найти ранги матриц, соответствующих указанным квадратичным формам. Рассмотрим каждую форму отдельно, составим матрицу для каждой формы и вычислим её ранг.

1. Первая квадратичная форма: \[x_1^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3\] Сначала составим симметричную матрицу для этой квадратичной формы. Удифференцируем коэффициенты перед \(x_1^2, x_2^2, x_3^2, x_1x_2, x_1x_3, x_2x_3\): \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Теперь найдем её ранг. Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Мы получили три ведущие 1-цы. Таким образом, ранг этой матрицы равен 2.
2. Вторая квадратичная форма: \[x_1^2 - 2x_2^2 + x_3^2\] Составим симметричную матрицу: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Эта матрица уже является диагональной, и все её диагональные элементы отличны от нуля. Таким образом, её ранг равен 3.
3. Третья квадратичная форма: \[x_1^2 - x_3^2 + 2x_2x_3\] Составим симметричную матрицу: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] Теперь найдем её ранг, приведя матрицу к ступенчатому виду: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Мы получили три ведущие 1-цы. Таким образом, ранг этой матрицы равен 3.

Итак, квадратичные формы (б) и (в) имеют ранг, равный трём. Форма (а) имеет ранг, равный двум. Ответ: "ни одна".