Напиши нормальный вид и преобразования неизвестных над квадратичной формы

Предмет: Линейная алгебра.

Раздел: Квадратичные формы.

В данном задании потребуется преобразовать квадратичную форму \( f(x_1, x_2, x_3) = x_1x_3 - 2x_2x_3 \) к нормальному виду.

Шаг 1: Представление формы в матричном виде

Квадратичные формы можно записывать с использованием симметричных матриц. Чтобы преобразовать форму в матричное выражение, давайте перепишем её:

\[ f(x_1, x_2, x_3) = x_1x_3 - 2x_2x_3. \]

Заметим, что у нас нет всех произведений переменных (например, нет \(x_1^2, x_2^2, x_3^2\)) — это упрощает процесс. Чтобы записать это как квадратичную форму, представим её следующим образом:

\[ f(x) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \cdot A \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, \]

где \(A\) — это симметричная матрица, которая соответствует данной форме.

Шаг 2: Поиск матрицы \( A \)

Проанализируем каждый член формулы:

• \( x_1x_3 \) даёт значения в матрице \( A \), где элементы \( A_{13} \) и \( A_{31} \) соответствуют коэффициенту 1 (в силу симметрии \( A \)).
• \( -2x_2x_3 \) даёт значения в матрице \( A \), где элементы \( A_{23} \) и \( A_{32} \) равны -1 (так как переменные \( x_2 \) и \( x_3 \) имеют коэффициент -2, который затем делится пополам).

Заполнив матрицу, имеем:

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

Шаг 3: Приведение квадратичной формы к диагональному виду

Теперь следует привести форму к диагональному виду. Для этого находим собственные значения матрицы \( A \). Решаем характеристическое уравнение:

\[ \det(A - \lambda I) = 0. \]

Запишем матрицу \( A - \lambda I \):

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & -\lambda & -1 \\ \frac{1}{2} & -1 & -\lambda \end{pmatrix}. \]

Найдём определитель этой матрицы. Для удобства сначала разложим определитель по первой строке:

\[ \det(A - \lambda I) = -\lambda \begin{vmatrix} -\lambda & -1 \\ -1 & -\lambda \end{vmatrix} - 0 + \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} 0 & -\lambda \\ -1 & -\lambda \end{vmatrix}. \]

Посчитаем значения каждого определителя:

\[ \begin{vmatrix} -\lambda & -1 \\ -1 & -\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - 1, \]

\[ \begin{vmatrix} 0 & -\lambda \\ -1 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda. \]

Теперь подставим это в характеристическое уравнение:

\[ \det(A - \lambda I) = -\lambda (\lambda^2 - 1) + \frac{1}{2}(-\lambda). \]

Упростим выражение:

\[ -\lambda (\lambda^2 - 1) = -\lambda^3 + \lambda, \]

\[ \frac{1}{2}(-\lambda) = -\frac{\lambda}{2}, \]

\[ -\lambda^3 + \lambda - \frac{\lambda}{2} = 0. \]

Приведём это к общему знаменателю:

\[ -\lambda^3 + \frac{2\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} = 0 \Rightarrow -\lambda^3 + \frac{\lambda}{2} = 0. \]

Вынесем \( \lambda \) за скобку:

\[ \lambda\left(-\lambda^2 + \frac{1}{2}\right) = 0. \]

Значит, одно из собственных значений — \( \lambda = 0 \). Теперь решим уравнение \( -\lambda^2 + \frac{1}{2} = 0 \):

\[ \lambda^2 = \frac{1}{2}, \]

\[ \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Получаем три собственных значения: \( \lambda_1 = 0 \), \( \lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \), \( \lambda_3 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \).

Шаг 4: Нормальный вид

Таким образом, диагональный (или нормальный) вид квадратичной формы имеет вид:

\[ f(x_1, x_2, x_3) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2, \]

где \( y_1, y_2, y_3 \) — это новые переменные, которые получаются с помощью соответствующего ортогонального преобразования (например, преобразования с помощью собственных векторов). Квадратичная форма при этом принимает следующий вид:

\[ f(x_1, x_2, x_3) = \frac{1}{\sqrt{2}} y_2^2 - \frac{1}{\sqrt{2}} y_3^2. \]