Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости

Это задание относится к аналитической геометрии, которая входит в предмет «Математика» (раздел — Векторная алгебра и геометрия).

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку \((2, -3, 4)\) параллельно плоскости \(XY\).

Решение:

Если плоскость параллельна плоскости \(XY\), значит, нормальный вектор этой плоскости имеет вид \( \mathbf{n} = (0, 0, 1) \), поскольку ось \(Z\) перпендикулярна плоскости \(XY\).

Общее уравнение плоскости задается формулой: \[ Ax + By + Cz + D = 0, \] где \(A\), \(B\) и \(C\) — компоненты нормального вектора \( \mathbf{n} = (A, B, C) \).

Так как плоскость параллельна \(XY\), то \(A = 0\), \(B = 0\), а \(C = 1\). Уравнение плоскости тогда имеет вид: \[ z + D = 0. \]

Теперь подставим координаты точки \((2, -3, 4)\), через которую проходит плоскость: \[ 4 + D = 0, \] откуда \(D = -4\).

Таким образом, уравнение плоскости: \[ z - 4 = 0 \quad \text{или} \quad z = 4. \]

7. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах \( \mathbf{a} = (1; 0; 1), \mathbf{b} = (1; 1; 0), \mathbf{c} = (4; 2; 1) \).

Решение:

Объем параллелепипеда, построенного на векторах \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \), вычисляется через смешанное произведение: \[ V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|. \]

1. Найдем векторное произведение \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \):

   \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix}1 & 0\\ 4 & 1\end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix}1 & 1\\ 4 & 2\end{vmatrix}. \]

   \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{i} \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j} \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 4) + \mathbf{k} \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 4). \]

   \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{i} \cdot 1 - \mathbf{j} \cdot 1 + \mathbf{k} \cdot (-2). \]

   Таким образом, \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (1; -1; -2). \]

2. Теперь найдем скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \):

   \[ \mathbf{a} \cdot (1; -1; -2) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) = 1 - 2 = -1. \]

3. Окончательно объем параллелепипеда:

   \[ V = |-1| = 1. \]

Ответ: Объем параллелепипеда равен \(1\).